Odpowiedź :
Rozwiązanie:
a) Podstawiamy u(x), v(x) i w(x) wtedy u(x)*v(x)-w(x)=(-x+4)*(2x²+ax+b)-(-2x³+6x²+5x+12)=(-2x³-ax²-bx+8x²+4ax+4b)+2x³-6x²-5x-12
=-2x³-ax²-bx+8x²+4ax+4b+2x³-6x²-5x-12=
=x²(-a+8-6)+x(-b+4a-5)-12+4b. Szukamy współczynników a i b dla których wielomian ten będzie zerowym czyli dla którego 8-6-a=2-a=0 czyli a=2, oraz 4b-12=0, czyli 4b=12, zatem b=3, sprawdźmy czy dla tak wybranych a i b wyrażenie 4a-b-5=0, więc 4*2-3-5=8-3-5=5-5=0. I tak znaleźliśmy, że dla dowolnie wybranego x przy parametrach a=2 i b=3 wielomian u(x)*v(x)-w(x)=0.
b) Podobnie i tu, najpierw podstawiamy u(x), v(x) i w(x) wtedy u(x)*v(x)-w(x)=(2ax+b)*(x²-x)-(x³-6x²+5x)=(2ax³-2ax²+bx²-bx)-x³+6x²-5x=
=2ax³-2ax²+bx²-bx-x³+6x²-5x=
=x³(2a-1)+x²(6+b-2a)+x(-b-5). Szukamy współczynników a i b dla których wielomian ten będzie zerowym czyli dla którego 2a-1=0 czyli 2a=1, czyli a=1/2, oraz -b-5=0, czyli -b=5, zatem b=-5, sprawdźmy czy dla tak wybranych a i b wyrażenie 6+b-2a=0, więc 6+(-5)-2*(1/2)=6-5-1=1-1=0. I tak znaleźliśmy, że dla dowolnie wybranego x przy parametrach a=1/2 i b=-5 wielomian u(x)*v(x)-w(x)=0.
a) Podstawiamy u(x), v(x) i w(x) wtedy u(x)*v(x)-w(x)=(-x+4)*(2x²+ax+b)-(-2x³+6x²+5x+12)=(-2x³-ax²-bx+8x²+4ax+4b)+2x³-6x²-5x-12
=-2x³-ax²-bx+8x²+4ax+4b+2x³-6x²-5x-12=
=x²(-a+8-6)+x(-b+4a-5)-12+4b. Szukamy współczynników a i b dla których wielomian ten będzie zerowym czyli dla którego 8-6-a=2-a=0 czyli a=2, oraz 4b-12=0, czyli 4b=12, zatem b=3, sprawdźmy czy dla tak wybranych a i b wyrażenie 4a-b-5=0, więc 4*2-3-5=8-3-5=5-5=0. I tak znaleźliśmy, że dla dowolnie wybranego x przy parametrach a=2 i b=3 wielomian u(x)*v(x)-w(x)=0.
b) Podobnie i tu, najpierw podstawiamy u(x), v(x) i w(x) wtedy u(x)*v(x)-w(x)=(2ax+b)*(x²-x)-(x³-6x²+5x)=(2ax³-2ax²+bx²-bx)-x³+6x²-5x=
=2ax³-2ax²+bx²-bx-x³+6x²-5x=
=x³(2a-1)+x²(6+b-2a)+x(-b-5). Szukamy współczynników a i b dla których wielomian ten będzie zerowym czyli dla którego 2a-1=0 czyli 2a=1, czyli a=1/2, oraz -b-5=0, czyli -b=5, zatem b=-5, sprawdźmy czy dla tak wybranych a i b wyrażenie 6+b-2a=0, więc 6+(-5)-2*(1/2)=6-5-1=1-1=0. I tak znaleźliśmy, że dla dowolnie wybranego x przy parametrach a=1/2 i b=-5 wielomian u(x)*v(x)-w(x)=0.