Odpowiedź :
Najlepiej podstawić pod liczby jakieś wartości
a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x^2+y^2>=2xy
dla x = 0, y = 0
x² + y² ≥ 2xy
0² + 0² = 1 + 1 ≥ 2xy
0+0 ≥ 2xy
dla x = 2, y = 2
x² + y² ≥ 2xy
2² + 2² = 4 + 4 ≥ 2xy
2+2 ≥ 2xy
b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x+y+z=1, to x^2+y^2+z^2>=(1/3)
dla x= 0, y=0, z=1
x²+y²+z²≥¹/₃
1 + 1 + 1 ≥¹/₃
dla x=1/3, y=1/3, z=1/3
x²+y²+z²≥¹/₃
1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/3 ≥¹/₃
a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x^2+y^2>=2xy
dla x = 0, y = 0
x² + y² ≥ 2xy
0² + 0² = 1 + 1 ≥ 2xy
0+0 ≥ 2xy
dla x = 2, y = 2
x² + y² ≥ 2xy
2² + 2² = 4 + 4 ≥ 2xy
2+2 ≥ 2xy
b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x+y+z=1, to x^2+y^2+z^2>=(1/3)
dla x= 0, y=0, z=1
x²+y²+z²≥¹/₃
1 + 1 + 1 ≥¹/₃
dla x=1/3, y=1/3, z=1/3
x²+y²+z²≥¹/₃
1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/3 ≥¹/₃
a) Korzystasz z informacji, że każda liczba podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną czyli większą lub równą zero.
∀a∈R a²≥0 czyli wystartujemy z zależności:(x-y)²≥0
x²-2xy+y²≥0
x²+y²≥2xy cbdu
∀a∈R a²≥0 czyli wystartujemy z zależności:(x-y)²≥0
x²-2xy+y²≥0
x²+y²≥2xy cbdu
ad 1)
x,y ∈ R => x² + y² ≥ 2xy
Dowod:
x² + y² - 2xy ≥ 0
ze wzoru skroconego mnozenia bedzie to:
(x - y)² ≥ 0
wiadomo ze kazda liczba podniesiona do kwadratu jest wieksza badz rowna 0.
CND.
ad 2)
x+y+z=1, to x^2+y^2+z^2>=(1/3)
x+y+z-1=0 i x²+y²+z²-1/3 ≥ 0
zatem:
x²+y²+z²-1/3 ≥ x+y+z-1
x²+y²+z²+2/3 ≥ x+y+z
suma kwadratow trzech dowolnych liczb (plus 2/3) jest zawsze wieksza od sumy tych trzech dowolnych liczb.
CND
x,y ∈ R => x² + y² ≥ 2xy
Dowod:
x² + y² - 2xy ≥ 0
ze wzoru skroconego mnozenia bedzie to:
(x - y)² ≥ 0
wiadomo ze kazda liczba podniesiona do kwadratu jest wieksza badz rowna 0.
CND.
ad 2)
x+y+z=1, to x^2+y^2+z^2>=(1/3)
x+y+z-1=0 i x²+y²+z²-1/3 ≥ 0
zatem:
x²+y²+z²-1/3 ≥ x+y+z-1
x²+y²+z²+2/3 ≥ x+y+z
suma kwadratow trzech dowolnych liczb (plus 2/3) jest zawsze wieksza od sumy tych trzech dowolnych liczb.
CND