Zadanie 1.
a)
[tex]f(x)=\sqrt{\tan(\frac{1}{2} x)}\\\frac{df}{dx}=\frac{1}{2}(\tan{(\frac{1}{2}x)})^{-1/2}\cdot \frac{d}{dx}(\tan{(\frac{1}{2}x)})\\\frac{df}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{\tan{(x/2)}}}\cdot\frac{1}{2\cos^2{(x/2)}}=\frac{1}{2\cos^2{(x/2)}\sqrt{\tan{(x/2)}}}[/tex]
b)
[tex]f(x)=\sqrt{x^{2}+1 }\\\frac{df}{dx}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]
c)
[tex]f(x)=\arcsin{(\frac{1}{\sqrt{x}})}\\\frac{df}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-1/x}}\cdot(-\frac{1}{2x^{3/2}})\\\frac{df}{dx}=-\frac{1}{2x\sqrt{x-1}}[/tex]
wykorzystałem tu wzór na pochodną funkcji wewnętrznej:
[tex]\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}[/tex]
niekiedy nawet 3 razy jak w przypadku a)
Mniej trywialne pochodne to:
[tex]\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)\\\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}[/tex]
Zadanie 2.
a)
[tex]f(x)=e^{x}\\\frac{df}{dx}=e^x\\f'(x_0)\approx\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\f(x)\approx f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\f(0.07)\approx e^0\cdot0.07+e^0=1.07[/tex]
b)
[tex]f(x)=\ln(x)\\\frac{df}{dx}=\frac{1}{x}\\f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\\f(0.9993)\approx \ln{1}+\frac{1}{1}(0.9993-1)=-0.0007[/tex]
to, co tutaj zrobiłem jest de facto rozwinięciem funkcji w szereg Taylora do wyrazów liniowych.
pozdrawiam
