Skoro dwa okręgi (A i B), styczne wewnętrznie z dużym okręgiem (O), są styczne ze sobą w punkcie będącym środkiem dużego okręgu, to znaczy, że punkty A, O, B są współliniowe, oraz:
- okręgi o środkach A i B są identyczne
- długości średnic okręgów A i B są równe promieniowi okręgu O
- |AC| = |BC|, czyli CO jest wysokością trójkąta ABC
Jeśli oznaczymy:
R - szukana długość promienia największego okręgu (O)
r - długość promieni okręgów A i B
4 - długość promienia okręgu C
{rysunek}
to w trójkącie prostokątnym BOC mamy:
|BO| = r = ¹/₂R , |CO| = R - 4 - przyprostokątne
|BC| = r + 4 = ¹/₂R + 4 - przeciwprostokątna
Zatem z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BOC:
[tex]|BO|^2+|CO|^2=|BC|^2\\\\r^2+(R-4)^2=(r+4)^2\\\\(\frac12R)^2+(R-4)^2=(\frac12R+4)^2\\\\\frac14R^2+R^2-8R+16=\frac14R^2+4R+16\\\\R^2-12R=0\\\\R(R-12)=0\\\\\large\text{$R=0\quad\vee\quad R=12$}[/tex]
Promień okręgu musi być większy od 0, czyli:
Odp.:
Promień największego okręgu wynosi 12
