[tex]h_{AB}=\dfrac{18\sqrt{5}}{5}\ ,\quad h_{BC}=\dfrac{18\sqrt{17}}{17}[/tex]
Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa przystające trójkąty.
Pola przystających trójkątów są jednakowe, czyli:
[tex]P_{ABCD}=P_{ABC}+P_{ACD}=2P_{ABC}[/tex]
Pole trójkąta o znanych współrzędnych wierzchołków obliczymy ze wzoru:
[tex]P_{ABC}=\frac12\big|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\big|[/tex]
Zatem:
Pole równoległoboku:
[tex]P_{ABCD}=2\cdot\frac12\big|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\big| \\\\ P_{ABCD}=\big|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\big| \\\\ P_{ABCD}=\big|(-4+6)(0-2)-(-2-2)(4+6)\big| \\\\ P_{ABCD}=\big|2\cdot(-2)-(-4)\cdot10\big| \\\\ P_{ABCD}=\big|-4+40\big| \\\\ P_{ABCD}=\big|36\big| \\\\ \large\text{$P_{ABCD}=36$}[/tex]
Wiemy, że pole równoległoboku to iloczyn długości jego boku i wysokości prostopadłej do tego boku.
Czyli mając pole możemy obliczyć wysokości. Musimy tylko najpierw obliczyć długości boków:
[tex]|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\ |AB|=\sqrt{(-4+6)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5[/tex]
[tex]|BC|=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\\\\ |BC|=\sqrt{(4+4)^2+(0+2)^2}=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}[/tex]
Stąd:
Wysokość poprowadzona do boku AB [tex](h_{AB})[/tex]:
[tex]P=|AB|\cdot h_{AB}\\\\36=2\sqrt5\cdot h_{AB}\qquad/:(2\sqrt5) \\\\ h_{AB}=\dfrac{18}{\sqrt5}\\\\\bold{ h_{AB}=\dfrac{18\sqrt5}{5}}[/tex]
Wysokość poprowadzona do boku BC [tex](h_{BC})[/tex]:
[tex]P=|BC|\cdot h_{BC}\\\\36=2\sqrt{17}\cdot h_{BC}\qquad/:(2\sqrt{17}) \\\\ h_{BC}=\dfrac{18}{\sqrt{17}}\\\\ h_{BC}=\bold{\dfrac{18\sqrt{17}}{17}}[/tex]
