Odległość między dwoma punktami [tex](x_1,y_1)[/tex] i [tex](x_2,y_2)[/tex] wyraża się wzorem [tex]d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}[/tex].
Szukamy punktów przecięcia się okręgów.
Równania okręgów:
[tex]x^2+y^2-6x+2y-70=0\\x^2+y^2-16x-8y+70=0[/tex]
Odejmuję jedno równanie od drugiego (wybrałem drugie od pierwszego, ale to nie ma znaczenia) i otrzymuję równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty:
[tex]10x+10y-140=0\\x+y-14=0\\y=-x+14[/tex]
Wstawiam równanie tej prostej do jednego z równań okręgów (wybrałem pierwsze) i znajduję współrzędne [tex]x[/tex] szukanych punktów:
[tex]x^2+(-x+14)^2-16x-8(-x+14)+70=0\\x^2+x^2-28x+196-16x+8x-112+70=0\\2x^2-36x+154=0\\x^2-18x+77=0\\x^2-7x-11x+77=0\\x(x-7)-11(x-7)=0\\(x-11)(x-7)=0\\x=11 \vee x=7[/tex]
Wstawiam otrzymane współrzędne [tex]x[/tex] do równania prostej przechodzącej przez te dwa punkty i znajduję współrzędne [tex]y[/tex] szukanych punktów:
[tex]y=-11+14 \vee y=-7+14\\y=3 \vee y=7[/tex]
Zatem punkty przecięcia okręgów to [tex](7,7)[/tex] i [tex](11,3)[/tex].
A więc szukana odległość to
[tex]d=\sqrt{(7-11)^2+(7-3)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}[/tex]
