Odpowiedź :
Odpowiedź:
Zad1 wyznacz wierzchołki paraboli :
a)f(x)=-2(x+5)^2+1 W=(-5,1]
postac kanoniczna to f(x]= a(x-p]²+q W=(p,q]
b)f(x)=1/2x^2-2x+3 W=(2,1]
p=-b/2a=2: 2*1/2=2 q=f(p]= 1/2*4-4+3=1
Zad2 osią symetrii funkcji f(x)=-x^2+2x-8 jest:
x=p p=-b/2a=-2/-2=1 os symetrii : x= 1
Zad3 zbiorem wartości funkcji; przedstaw obliczenia:
dla a > 0 ZW= <q; +∞⊃ dla a<0 ZW= (-∞;q⊃
a)f(x)=-3(x+1)^2+4 jest: q=4 ZW= (-∞,4⊃
b)f(x)=x^2+4x+3 jest: q=3 ZW=<3,+∞⊃
Zad4 Funkcja f(x)=2x^2+x-1 osiąga wartości dodatnie:
a>0 Δ=b²-4ac= 1+ 8=9 √Δ=3 x1=[-b-√Δ]/2a=[-1-3]/4=-1
x2=[-b+√Δ]/2a=[-1+3]/4=1/2
odp. c
a)x€(-1/2,1)
b)x€(-1,1/2)
c)x€(-∞,-1)u(1/2,∞)
d)x€(-∞,-1/2)u(1,+∞)
Zad5 maksymalny przedział, w którym funkcja rośnie, jest:
f(x)=3(x-4)^2+2 a>0 f. rośnie od q do +∞
q=2 czyli to przedzial : <2,+∞⊃
Zad6 funkcja f(x)=-3(x+2)(x-1) ma miejsca zerowe
(x+2)(x-1) =0 x+2=0 lub x-1=0
x1= -2 x2=1= m-ca zerowe
Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcja kwadratowa
Funkcją kwadratową jest taka funkcja, we wzorze której występuje niewiadoma w drugiej potędze.
Postacie funkcji kwadratowej:
- Postać ogólna:
[tex]\huge\boxed{f(x)=ax^2+bx+c}[/tex]
a, b, c to współczynniki liczbowe, a≠0
Do dalszych obliczeń na tej postaci funkcji, konieczne jest obliczenie wyróżnika funkcji kwadratowej (Δ):
[tex]\boxed{\Delta=b^2-4ac}[/tex]
W zależności od wartości delty funkcja:
- ma 2 miejsca zerowe, jeżeli Δ>0
[tex]\boxed{x_{1, 2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}[/tex]
- ma 1 miejsce zerowe, jeżeli Δ=0
[tex]\boxed{x_0=\dfrac{-b}{2a}}[/tex]
- nie ma miejsc zerowych, jeżeli Δ<0
- ma wierzchołek w punkcie W=(p, q), którego współrzędne to:
[tex]\boxed{p=\dfrac{-b}{2a}, \: q=\dfrac{-\Delta}{4a}}[/tex] - Postać iloczynowa:
[tex]\huge\boxed{f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}[/tex]
a ≠ 0, x₁, x₂ to miejsca zerowe funkcji - Postać kanoniczna:
[tex]\huge\boxed{f(x)=a(x-p)^2+q}[/tex]
a ≠ 0, p, q to współrzędne wierzchołka paraboli.
W zależności od współczynnika a funkcja ma:
- ramiona skierowane w górę, jeżeli a>0
- ramiona skierowane w dół, jeżeli a<0
Zbiór wartości funkcji kwadratowej:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l|l}\text{Wspolczynnik \it{a}}&\text{Zbior wartosci}\\\cline{1-2}a > 0&y\in \langle q; \infty)\\a < 0&y\in(-\infty; q\rangle\end{array}}[/tex]
Rozwiazanie:
Zadanie 1:
a)
Współrzędne wierzchołka odczytujemy z postaci kanonicznej funkcji:
[tex]f(x)=-2(x+5)^2+1\\p=-5, q=1\\\boxed{W=(-5; 1)}[/tex]
b)
Współrzędne wierzchołka obliczamy:
[tex]f(x)=\dfrac12x^2-2x+3\\a=\dfrac12, b=-2, c=3\\\Delta=(-2)^2-4\cdot\dfrac12\cdot 3=4-6=-2\\p=\dfrac{-(-2)}{2\cdot \frac12}=\dfrac{2}{1}=2\\q=\dfrac{-(-2)}{4\cdot \frac12}=\dfrac{2}{2}=1\\\boxed{W=(2, 1)}[/tex]
Zadanie 2:
Oś symetrii funkcji przechodzi przez wierzchołek.
[tex]x=\dfrac{-b}{2a}[/tex]
[tex]f(x)=-x^2+2x-8\\a=-1, b=2, c=-8\\x=\dfrac{-2}{2\cdot (-1)}=\dfrac{-2}{-2}=1\\\\\boxed{x=1}[/tex]
Zadanie 3:
a)
[tex]f(x)=-3(x+1)^2+4\\a=-3 - \text{ramiona paraboli skierowane w dol}\\q=4\\\boxed{Zw: y\in (-\infty; 4\rangle}[/tex]
b)
[tex]f(x)=x^2+4x+3\\a=1 - \text{ramiona paraboli skierowane w gore}\\b=4\\c=3\\\Delta=4^2-4\cdot1\cdot 3=16-12=4\\q=\dfrac{-4}{4\cdot 1}=\dfrac{-4}4=-1\\\boxed{Zw: y\in\langle -1; \infty)}[/tex]
Zadanie 4:
[tex]2x^2+x-1 > 0\\a=2, b=1, c=-1\\\\\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9\\\sqrt{\Delta}=\sqrt9=3\\\\x_1=\dfrac{-1-3}4=\dfrac{-4}4=-1\\x_2=\dfrac{-1+3}4=\dfrac24=\dfrac12\\\\f(x) > 0 : x\in(-\infty; -1)\cup\left(\dfrac12;\infty\right)[/tex]
Odp. C
Zadanie 5:
[tex]f(x)=3(x-4)^2+2[/tex]
Funkcja ma dodatni współczynnik a, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Oznacza to, że funkcja najpierw maleje do wierzchołka, a następnie począwszy od wierzchołka - rośnie.
[tex]p=4[/tex]
[tex]\boxed{f\uparrow: x\in(4; \infty)}[/tex]
Zadanie 6:
Miejsca zerowe odczytujemy ze wzoru na postać iloczynową funkcji.
[tex]f(x)=-3(x+2)(x-1)\\\boxed{x_1=-2, x_2=1}[/tex]