6 monet 1-złotowych, 12 monet 2-złotowych i 14 monet 5-złotowych
Układy równań - zadania z treścią
Krok 1.
W zadaniach z treścią zawsze najpierw określamy niewiadome.
Tutaj mamy trzy niewiadome (liczby monet trzech rodzajów), ale jedna z nich (liczba monet 5-złotowych) jest zależna od innej (liczby monet 1-złotowych), więc wystarczy określić dwie niewiadome:
- x - liczba monet 2-złotowych
- y - liczba monet 1-złotowych
podwojona liczba monet 1-złotowych to 2y, czyli:
- 2y+2 - liczba monet 5-złotowych
Krok 2.
Wypisanie danych.
Zależności między danymi łatwiej wyłapać, jeśli przedstawi się dane w formie tabeli:
liczba monet kwota w monetach (w zł)
monety 2-złotowe: x x·2 = 2x
monety 1-złotowe: y y·1 = y
monety 5-złotowe: 2y+2 (2y+2)·5 = 10y+10
Łącznie: 32 100
Krok 3.
Zapisanie zależności między danymi w formie równań.
Z pierwszej kolumny otrzymujemy:
x + y + 2y + 2 = 32
Z drugiej:
2x + y + 10y + 10 = 100
Po połączeniu ich klamrą otrzymujemy układ równań opisujący zadanie.
Krok 4.
Rozwiązanie układu równań.
[tex]\begin{cases}x + y + 2y + 2 = 32\\2x + y + 10y + 10 = 100\end{cases}[/tex]
Układ rozwiązujemy dowolną metodą. Ja wybieram metodę przeciwnych współczynników, bo jest krótsza od metody podstawiania.
Zaczynamy od uporządkowania obu równań układu.
[tex]\begin{cases}x +3y + 2 = 32\qquad/-2\\2x + 11y + 10 = 100\qquad/-10\end{cases}\\\\ \begin{cases}x +3y= 30\\2x + 11y = 90\end{cases}[/tex]
Przekształcamy jedno (lub oba) równanie tak, aby przy jednej z niewiadomych otrzymać przeciwne współczynniki (takie same liczby z przeciwnymi znakami). Tutaj wystarczy pomnożyć pierwsze równanie przez (-2), aby otrzymać przeciwne współczynniki przy x:
[tex]\begin{cases}x +3y= 30\qquad/\cdot(-2)\\2x + 11y = 90\end{cases}\\\\ \begin{cases}-2x-6y=-60\\\ \ 2x + 11y = 90\end{cases}[/tex]
Teraz możemy dodać równania stronami i zredukować układ do równania z jedną niewiadomą:
[tex]+\underline{\begin{cases}-2x-6y=-60\\\ \ 2x + 11y = 90\end{cases}}\\{}\qquad\qquad 5y=30[/tex]
Rozwiązujemy otrzymane równanie:
[tex]5y=30\qquad/:5\\{}\ \bold{y=6}[/tex]
Obliczoną niewiadomą wstawiamy do jednego z równań układu (dowolnego równania z całych przekształceń), by obliczyć drugą niewiadomą:
[tex]x + 3y = 30\\x+3\cdot6=30\\x+18=30\qquad/-18\\{}\quad \bold{x=12}[/tex]
Krok 5.
Wykonanie końcowych obliczeń (jeśli są konieczne) i podanie odpowiedzi.
Została nam do obliczenia liczba monet 5-złotowych:
2y+2 = 2·6 = 2 = 12 + 2 = 14
Zatem:
Odp.:
Wydano 6 monet 1-złotowych, 12 monet 2-złotowych i 14 monet 5-złotowych.
