oblicz pole trójkąta abc jeśli a=(1,2] b=(-1,0) i c=(2,-2)

podaj wspolrzedne srodka I promien okregu o równaniu (x-2/3)^2+(y+4)^2=32

[tex]\boxed{\begin{array}{c|cc}\text{Zadanie 1}&\multicolumn{2}{c}{P=5[j^2]}\\\text{Zadanie 2}&S=\left(\dfrac23; -4\right)&r=4\sqrt2\end{array}}[/tex]

Pole trójkąta

[tex]\huge\boxed{P=\dfrac{a\cdot h}2}[/tex]

gdzie:

a - bok trójkąta
h - wysokość opadająca na ten bok

Długość odcinka w układzie współrzędnych

Długość odcinka o końcach w punktach A=(x₁, y₁) oraz B=(x₂, y₂) wyraża się wzorem:

[tex]\huge\boxed{|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}[/tex]

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu P od prostej k jest najmniejszą spośród odległości pomiędzy punktem P a prostą k. Jest to długość odcinka o końach w punkcie P oraz punkcie będącym miejscem przecięcia prostej k oraz prostopadłej do niej prostej przechodzącej przez punkt P.

Odległość punktu P=(x₀, y₀) od prostej k danej w postaci ogólnej Ax+By+C=0 oblicza się ze wzoru:

[tex]\huge\boxed{d_{P, k}=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}[/tex]

Równanie okręgu

[tex]\huge\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}[/tex]

gdzie:

a, b - współrzędne środka okręgu
r - promień okręgu

Rozwiązanie:

Zadanie 1.

Aby obliczyć pole tego trójkąta, wyznaczamy długość dowolnego odcinka, a następnie odległość trzeciego, pozostałego punktu od prostej zawierającej wyznaczony wcześniej odcinek.

Kroki rozwiązania zadania:

Wyznaczamy długość podstawy
[tex]a=|AB|=\sqrt{(-1-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt2[/tex]
Wyznaczamy równanie ogólne prostej przechodzącej przez podstawę
[tex]\underline{+\left\{\begin{array}{c}2=a+b\\0=-a+b\end{array}\right\:}\\2+0=b+b\\2=2b |:2\\b=1\\2=a+1 |-1\\1=a\\\\\underline{k: y=x+1 \to k: -x+y-1=0}[/tex]
Obliczamy odległość punktu C od wyznaczonej prostej
[tex]C=(2, -2), k: -x+y-1=0\\x_0=2, y_0=-2, A=-1, B=1, C=-1\\\\h = d_{C, k}=\dfrac{|(-1)\cdot2+1\cdot(-2)+(-1)|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}\\\\h=\dfrac{|-2+(-2)+(-1)|}{\sqrt{1+1}}\\\\h=\dfrac{|-2-2-1|}{\sqrt2}\\\\h=\dfrac{|-5|}{\sqrt2}\\\\h=\dfrac{5}{\sqrt2}\\\\h=\dfrac{5\sqrt2}{2}[/tex]
Obliczamy pole trójkąta
[tex]P=\dfrac{2\!\!\!\!\diagup^1\sqrt2\cdot\dfrac{5\sqrt2}{2}}{2\!\!\!\!\diagup_1}=\sqrt2\cdot\dfrac{5\sqrt2}2=\dfrac{5\cdot2}2=5[j^2]\\\\\boxed{P=5[j^2]}[/tex]

Zadanie 2.

Współrzędne środka okręgu oraz kwadrat długości promienia odczytujemy z postaci kanonicznej równania okręgu.

[tex]\begin{array}{c}(x-a)^2+(y-b)^2+r^2\\\left(x-\dfrac23\right)^2+(y+4)^2=32\end{array}\\\begin{array}{ccc}a=\dfrac23&b=-4&r^2=32 \to r=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt2\end{array}\\\\\boxed{\begin{array}{cc}S=\left(\dfrac23; -4\right)&r=4\sqrt2\end{array}}[/tex]