[tex]\huge\begin{array}{ccc}\dfrac{81\cdot27\cdot3^{-2}}{\frac{1}{3}\cdot9^3}=3^0\\\dfrac{64\cdot3^3\cdot3^{-5}}{8^2\cdot81\cdot2^{-6}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^6\end{array}[/tex]
Działania na potęgach.
Twierdzenia:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\\\\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\qquad a\neq0\\\\\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}[/tex]
Definicja potęgi o wykładniku ujemnym:
[tex]a^{-n}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{n}\qquad a\neq0[/tex]
Na podstawie powyższych twierdzeń i definicji przedstawiamy wyrażenia w postaci jednej potęgi.
a)
[tex]\dfrac{81\cdot27\cdot3^{-2}}{\frac{1}{3}\cdot9^3}=\dfrac{3^4\cdot3^3\cdot3^{-2}}{3^{-1}\cdot\left(3^2\right)^3}=\dfrac{3^{4+3+(-2)}}{3^{-1}\cdot3^{2\cdot3}}=\dfrac{3^5}{3^{-1+6}}=\dfrac{3^5}{3^5}=3^{5-5}=\boxed{3^0}[/tex]
b)
[tex]\dfrac{64\cdot3^3\cdot3^{-5}}{8^2\cdot81\cdot2^{-6}}=\dfrac{2^6\cdot3^{3+(-5)}}{\left(2^3\right)^2\cdot3^4\cdot2^{-6}}=\dfrac{2^6\cdot3^{-2}}{2^{3\cdot2}\cdot3^4\cdot2^{-6}}=\dfrac{2^6\cdot3^{-2}}{2^6\cdot3^4\cdot2^{-6}}=\dfrac{2^6\cdot3^{-2}}{2^{6+(-6)}\cdot3^4}\\\\=\dfrac{2^6\cdot3^{-2}}{2^0\cdot3^4}=\dfrac{2^6\cdot3^{-2}}{3^4}=2^6\cdot3^{-2-4}=2^6\cdot3^{-6}=\dfrac{2^6}{3^6}=\boxed{\left(\dfrac{2}{3}\right)^6}[/tex]
