Wyznacz współrzędne punktu K w którym przecinają się symetralne boków trójkąta ABC jeśli A(-2,4) B(4,6) C(6,4)

narysuj trójkąt ABC i opisz na nim okrąg

oblicz promień okręgu.

Dwie proste o równaniu kierunkowym są prostopadłe wtedy, kiedy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1. Innymi słowy wtedy, kiedy współczynnik kierunkowy jednej prosty jest przeciwny i odwrotny do współczynnika kierunkowego drugiej prostej.

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}a_1\cdot a_2=-1\\a_2=-\dfrac1{a_1}\end{array}}[/tex]

Środek odcinka

Jeżeli dany jest odcinek o końcach w punktach A=(x₁, y₁) oraz B=(x₂, y₂), to współrzędne środka tego odcinka oblicza się ze wzoru:

[tex]\huge\boxed{S(x, y)=\left(\dfrac{x_1+x_2}2; \dfrac{y_1+y_2}2\right)}[/tex]

Równanie okręgu

Równanie okręgu w postaci kanonicznej to:

[tex]\huge\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}[/tex]

gdzie:

Środkiem okręgu jest punkt o współrzędnych (a, b)
Promień okręgu - r

Rozwiązanie:

W pierwszej kolejności należy wyznaczyć współczynniki kierunkowe co najmniej dwóch prostych zawierających dwa boki tego trójkąta, środki tych boków i równania symetralnych tych boków.

Punktem przecięcia się symetralnych będzie rozwiązanie układu równań dwóch symetralnych.

[tex]A=(-2; 4), B=(4; 6), C=(6; 3)[/tex]

W pierwszej kolejności zajmiemy się bokiem AB.

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B.
[tex]\left\{\begin{array}{c}4=-2a+b |\cdot(-1)\\6=4a+b\end{array}\right\:\\\underline{+\left\{\begin{array}{c}-4=2a-b\\6=4a+b\end{array}\right\:}\\-4+6=2a+4a\\2=6a /:6\\a=\dfrac26\\\boxed{a=\dfrac13}[/tex]
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej do niej prostopadłej
[tex]a_l\cdot\dfrac13=-1 |\cdot3\\\boxed{a_l=-3}[/tex]
Wyznaczamy środek odcinka AB
[tex]S_{AB}=\left(\dfrac{-2+4}2; \dfrac{4+6}2\right)\\S_{AB}=\left(\dfrac{2}2; \dfrac{10}2\right)\\\boxed{S_{AB}=(1; 5)}[/tex]

Wyznaczamy równanie symetralnej odcinka AB (prosta przechodząca przez punkt [tex]S_{AB}[/tex] mająca współczynnik kierunkowy -3).
[tex]5=-3\cdot1+b\\5=-3+b |+3\\8=b\\\\\boxed{l: y=-3x+8}[/tex]

Teraz zajmiemy sie drugim bokiem, na przykład BC.

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty B i C.
[tex]\left\{\begin{array}{c}6=4a+b\\4=6a+b |\cdot(-1)\end{array}\right\:\\\underline{+\left\{\begin{array}{c}6=4a+b\\-4=-6a-b\end{array}\right\:}\\6-4=4a-6a\\2=-2a /:(-2)\\\boxed{a=-1}[/tex]
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej do niej prostopadłej
[tex]a_k\cdot (-1)=-1 |:(-1)\\\boxed{a_k=1}[/tex]
Wyznaczamy środek odcinka BC
[tex]S_{BC}=\left(\dfrac{4+6}2; \dfrac{6+4}2\right)\\S_{BC}=\left(\dfrac{10}2;\dfrac{10}2\right)\\S_{BC}=(5; 5)[/tex]
Wyznaczamy równanie symetralnej odcinka AB (prosta przechodząca przez punkt [tex]S_{BC}[/tex] mająca współczynnik kierunkowy 1).
[tex]5=5+b |-5\\0=b\\\\\boxed{k: y=x}[/tex]

Miejscem przecięcia prostych l i k, które są symetralnymi odcinków odpowiednio AB i BC, jest punkt K. Wyznaczamy jego współrzędne:

[tex]\left\{\begin{array}{c}y=-3x+8\\y=x\end{array}\right\:\\\\x=-3x+8 |+3x\\4x=8 |:4\\x=2\\y=2\\\\\boxed{K=(2; 2)}[/tex]

W okręgu opisanym na trójkącie, długością promienia jest odległość dowolnego wierzchołka trójkąta od środka okręgu.

Wyznaczamy długość promienia, na przykład dla odcinka AK.

[tex]|AK|=\sqrt{(2+2)^2+(2-4)^2}=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\\r=\sqrt{20}\\r=\sqrt{4\cdot5}\\\boxed{r=2\sqrt5}[/tex]

Wyznaczamy równanie okręgu o środku w punkcie K:

Postać kanoniczna:
[tex](x-2)^2+(y-2)^2=(\sqrt{20})^2\\\boxed{\boxed{(x-2)^2+(y-2)^2=20}}[/tex]
Postać ogólna:
[tex]x^2-4x+4+y^2-4y+4=20 |-20\\x^2+y^2-4x-4y+8-20=0\\\boxed{\boxed{x^2+y^2-4x-4y-12=0}}[/tex]

Rysunek do zadania w załączniku.