Z definicji momentu bezwładności:
[tex]I=\int{r^2\, dm}[/tex]
element masy obręczy można zapisać jako:
[tex]dm=\sigma\,ds[/tex]
gdzie
σ to gęstość powierzchniowa, zaś ds element powierzchni
Policzę najpierw moment bezwładności względem osi będącej równocześnie osią symetrii
[tex]dm=\sigma \cdot 2\pi r dr\\I_0=2\pi\sigma\int_{r_1}^{r_2}{r^3dr}=\frac{2\pi\sigma}{4}(r_2^4-r_1^4)\\\sigma=\frac{m}{S}=\frac{m}{\pi(r_2^2-r_1^2)}\\I_0=\frac{m\pi}{2\pi}\frac{r_2^4-r_1^4}{r_2^2-r_1^2}=\frac{1}{2}m(r_2^2+r_1^2)[/tex]
gdzie wykorzystałem wzór skróconego mnożenia dla różnicy kwadratów.
jeżeli obręcz jest cienka:
[tex]r_1\to r_2=r\\I=mr^2[/tex]
Jeśli teraz przesuniemy oś obrotu o d względem środka masy: (odległość r1 jest mierzone względem punktu P, zaś r względem środka masy)
[tex]\vec{r}_1=\vec{r}+\vec{d}\\I=\int{r_1^2dm}=\int{r^2\,dm}+\int{2\vec{d}\cdot \vec{r}\, dm}+\int{d^2\,dm}\\I=I_0+md^2[/tex]
środkowy składnik znika, gdyż mamy tu de facto definicję środka masy:
[tex]\vec{r}_{SM}=[0;0]=\frac{\int{\vec{r}\, dm}}{m}[/tex]
W ten sposób udowodniłem twierdzenie Steinera.
Ostatecznie, nasz moment bezwładności:
[tex]d=r\\I=mr^2+mr^2=2mr^2=2\cdot0.5kg\cdot0.04m^2=0.04kgm^2[/tex]
pozdrawiam
