[tex]\huge\boxed{\begin{array}{ccc}{y_{max}=\dfrac{27}{4}\ \text{dla}\ x=\dfrac{1}{2}}\\\\{y_{min}=6\ \text{dla}\ x\in\{0,\ 1\}}\end{array}}[/tex]
Wartość największa i najmniejsza funkcji kwadratowej w danym przedziale.
Mamy daną funkcję kwadratową określoną za pomocą wzoru w postaci iloczynowej
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], gdzie [tex]x_1,\ x_2[/tex] to miejsca zerowe funkcji.
[tex]f(x)=-3(x+1)(x-2)[/tex]
Do wyznaczenia mamy wartość największą i najmniejszą w przedziale [tex]\left<0,\ 1\right>[/tex].
Jako, że współczynnik [tex]a=-3<0[/tex], to ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji są skierowane w dół.
W związku z tym największa wartość tej funkcji jest w wierzchołku paraboli.
Oznaczmy wierzchołek [tex]W(p,\ q)[/tex].
Sprawdzimy, czy odcięta wierzchołka znajduje się w zadanym przedziale.
Skorzystamy z tego, że odcięta wierzchołka znajduje się w połowie pomiędzy miejscami zerowymi funkcji kwadratowej.
[tex]P=\dfrac{x_1+x_2}{2}[/tex]
Ze wzoru funkcji odczytujemy miejsca zerowe:
[tex]x_1=-1,\ x_2=2[/tex]
Obliczamy wartość [tex]p[/tex]:
[tex]p=\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac{1}{2}\in\left < 0,\ 1\right >[/tex]
W związku z tym funkcja [tex]f(x)[/tex] przyjmuje w przedziale [tex]\left<0,\ 1\right>[/tex] wartość największą. Aby ją obliczyć podstawiamy [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] do wzoru funkcji:
[tex]f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-3\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\left(\dfrac{1}{2}-2\right)=-3\cdot1\dfrac{1}{2}\cdot\left(-1\dfrac{1}{2}\right)=3\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{4}[/tex]
Zatem:
[tex]\boxed{y_{max}=\dfrac{27}{4}\ \text{dla}\ x=\dfrac{1}{2}}[/tex]
Wartość najmniejsza będzie w jednym z krańców przedziału. Jako, że [tex]p[/tex] znalazło się dokładnie w środku przedziału, to wartości w 0 i 1 będą sobie równe.
Ale zadośćuczynimy przyjętym obliczeniom i obliczymy wartości funkcji w krańcach przedziału osobno:
[tex]f(0)=-3(0+1)(0-2)=-3\cdot1\cdot(-2)=6\\\\f(1)=-3(1+1)(1-2)=-3\cdot2\cdot(-1)=6[/tex]
Zatem:
[tex]\boxed{y_{min}=6\ \text{dla}\ x\in\{0,\ 1\}}[/tex]
