Odpowiedź :
Zdarzenia A i B oraz A i C są niezależne.
Zdarzenia A, B i C nie są niezależne.
Prawdopodobieństwo. Zdarzenia niezależne.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:
[tex]P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}[/tex]
[tex]A[/tex] - zbiór wszystkich zdarzeń sprzyjających zdarzeniu [tex]A[/tex]
[tex]\Omega[/tex] - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń (przestrzeń probabilistyczna)
[tex]|A|,\ |\Omega|[/tex] - moc zbioru (ilość elementów zbioru)
Zdarzenia niezależne:
Zdarzenia [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] są niezależne, gdy
[tex]P(A\ \cap\ B)=P(A)\cdot P(B)[/tex]
Rzucamy trzy razy kostką.
Zdarzenia są określone następująco:
[tex]A[/tex] - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym rzucie wypadła parzysta liczba oczek
[tex]B[/tex] - zdarzenie polegające na tym, że w drugim rzucie wypadła nieparzysta liczba oczek
[tex]C[/tex] - zdarzenie polegające na tym, że w każdym z trzech rzutów otrzymaliśmy inny wynik
Zbiór [tex]\Omega[/tex]:
[tex]\Omega=\bigg\{(x, y,z):x,y,z\in\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\bigg\}[/tex]
Określmy moce zbiorów:
[tex]|\Omega|=6\cdot6\cdot6=216[/tex]
w każdym rzucie mamy 6 możliwości (1, 2, 3, 4, 5, 6)
[tex]|A|=3\cdot6\cdot6=108[/tex]
w pierwszym rzucie mamy 3 możliwości (2, 4, 6), a w dwóch pozostałych 6 możliwości (1, 2, 3, 4, 5, 6)
[tex]|B|=6\cdot3\cdot6=108[/tex]
w drugim rzucie mamy 3 możliwości (1, 3, 5), a w pierwszym i trzecim 6 możliwości (1, 2, 3, 4, 5, 6)
[tex]|C|=6\cdot5\cdot4=120[/tex]
w pierwszym rzucie mamy 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6), w drugim 5, bo jedna już jest jako pierwsza, w trzecim 4
Zbiory [tex]A\ \cap\ B,\ A\ \cap\ C,\ A\ \cap\ B\ \cap\ C[/tex] to zbiory zdarzeń wspólnych
[tex]A\ \cap\ B[/tex] - zdarzenie polegające na wyrzuceniu w pierwszym rzucie parzystej liczby oczek, a w drugim nieparzystej
[tex]|A\ \cap\ B|=3\cdot3\cdot6=54[/tex]
[tex]A\ \cap\ C[/tex] - zdarzenie polegające na wyrzuceniu w pierwszym rzucie parzystej liczby oczek oraz w każdym rzucie inną liczbę oczek
[tex]|A\ \cap\ C|=3\cdot5\cdot4=60[/tex]
[tex]A\ \cap\ B\ \cap\ C[/tex] - zdarzenie polegające na wyrzuceniu w pierwszym rzucie parzystej liczby oczek, w drugim nieparzystej oraz w każdym rzucie wyrzucono inną liczbę oczek
[tex]|A\ \cap\ B\ \cap\ C|=3\cdot3\cdot4=36[/tex]
Obliczamy prawdopodobieństwa:
[tex]P(A)=\dfrac{108}{216}=\dfrac{1}{2}\\\\P(B)=\dfrac{108}{216}=\dfrac{1}{2}\\\\P(C)=\dfrac{120}{216}=\dfrac{5}{9}\\\\P(A\ \cap\ B)=\dfrac{54}{216}=\dfrac{1}{4}\\\\P(A\ \cap\ C)=\dfrac{60}{216}=\dfrac{5}{18}\\\\P(A\ \cap\ B\ \cap\ C)=\dfrac{36}{216}=\dfrac{1}{6}[/tex]
Sprawdzamy niezależność zdarzeń:
[tex]P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}=P(A\ \cap\ B)[/tex]
Zdarzenia [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] są niezależne.
[tex]P(A)\cdot P(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac{5}{18}=P(A\ \cap\ C)[/tex]
Zdarzenia [tex]A[/tex] i [tex]C[/tex] są niezależne.
[tex]P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac{5}{36}\neq\dfrac{1}{6}=P(A\ \cap\ B\ \cap\ C)[/tex]
Zdarzenia [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] i [tex]C[/tex] nie są niezależne.