a)
[tex]x^4-x^2-6=0[/tex]
Aby rozwiązać to zadanie, tworzymy sobie niewiadomą pomocniczą, która przyjmie dla nas wartość x². Robimy to po to, aby sprowadzić równanie czwartego stopnia do równania drugiego stopnia.
[tex]t=x^2[/tex]
I przekształcamy wzór:
[tex](x^2)^2-x^2-6=0\\t^2-t-6=0[/tex]
I rozwiązujemy klasyczne równanie kwadratowe.
[tex]a=1, b=-1, c=-6\\\Delta=(-1)^2-4*1*(-6)=1+24=25\\\sqrt{\Delta}=5[/tex]
[tex]t_1=\dfrac{1-5}2=\dfrac{-4}2=-2\\\\t_2=\dfrac{1+5}2=\dfrac{6}2=3[/tex]
Teraz wyznaczamy niewiadome "x" korzystając z rozwiązań zmiennej pomocniczej.
[tex]x^2=-2 \vee x^2=3[/tex]
[tex]x^2=-2 \notin \mathbb{R}[/tex]
W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczb ujemnych.
[tex]x^2=3 / \sqrt{}\\\boxed{x=-\sqrt3 \vee x=\sqrt3}[/tex]
b)
[tex]2x^4-12x^2+10=0\\[/tex]
Ten przykład rozwiązujemy wzorem poprzedniego.
[tex]t=x^2\\2t^2-12t+10=0\\\Delta=(-12)^2-4*2*10=144-80=64\\\sqrt{\Delta}=8\\\\t_1=\dfrac{12-8}4=\dfrac{4}4=1\\\\t_2=\dfrac{12+8}4=\dfrac{20}4=5\\\\x^2=1 \vee x^2=5\\\\x^2=1/ \sqrt{}\\x=1 \vee x=-1\\\\x^2=5 /\sqrt{}\\x=-\sqrt5 \vee x=\sqrt5\\\\\boxed{x=-1 \vee x=1 \vee x=-\sqrt5 \vee x=\sqrt5}[/tex]
