Rozwiązane

1.Funkcja kwadratowa f(x) = -2x²+bx+c ma dwa miejsca zerowe: x₁=-1 oraz x2 = 3.
Wyznacz wartości współczynników b oraz c, a następnie oblicz, dla jakiego argumentu funkcja osiąga
wartość równą - 8.
2.Pewien człowiek zapytany, ile ma lat, odpowiedział: Jeżeli całkowitą liczbę moich lat pomnożymy przez
liczbę o 58 mniejszą i do otrzymanego iloczynu dodamy 840, to otrzymamy liczbę ujemną. Czy na tej
podstawie można ustalić ile lat ma ten człowiek? Jeśli tak, to ile?
3. Wyznacz postać ogólną i iloczynową funkcji kwadratowej, o której wiadomo, że dla argumentu 3 osiąga
najmniejszą wartość równą (-8), a jednym z jej miejsc zerowych jest liczba 5.
4. Równanie y=-x² +2 bx -8, dla dowolnej liczby rzeczywistej b opisuje pewną parabolę. Wyznacz
wszystkie wartości parametru b, dla których wierzchołek tej paraboli leży pod osią OX.
5. Rozwiąż nierówności: 9x² - 6x ≤-1
²x² + √2x > 0
2

Odpowiedź :

Catta1eyaviz

Zadanie 1.

Jeżeli funkcja ma dwa miejsca zerowe x₁=-1, x₂=3, to można je zapisać w następujący sposób:

[tex]f(-1)=0\\f(3)=0[/tex]

Podstawiamy te wartości pod wzór ogólny funkcji f(x)=-2x²+bx+c i rozwiązujemy układ równań.

[tex]\left \{ {{-2*(-1)^2-b+c=0} \atop {-2*3^2+3b+c=0}} \right. \\\left \{ {{-2-b+c=0 /+2} \atop {-2*9+3b+c=0}} \right. \\\left \{ {{-b+c=2} \atop {-18+3b+c=0 /+18}} \right. \\\left \{ {{-b+c=2 /*3} \atop {3b+c=18}} \right. \\\underline{+\left \{ {{-3b+3c=6} \atop {3b+c=18}} \right. }\\3c+c=6+18\\4c=24 /:4\\c=6\\-b+6=2 /-6\\-b=-4 /*(-1)\\b=4\\\\\boxed{f(x)=-2x^2+4x+6}[/tex]

[tex]f(x)=-8\\-2x^2+4x+6=-8 /+8\\-2x^2+4x+14=0\\\Delta=4^2-4*(-2)*14=16+112=128\\\sqrt{\Delta}=8\sqrt2\\x_1=\frac{-4-8\sqrt2}{-4}=\frac{-4(1+2\sqrt2)}{-4}=1+2\sqrt2\\x_2=\frac{-4+8\sqrt2}{-4}=\frac{-4(1-2\sqrt2)}{-4}=1-2\sqrt2[/tex]

[tex]f(x)=8\\-2x^2+4x+6=8 /-8\\-2x^2+4x-2=0\\\Delta=4^2-4*(-2)*(-2)=16-16=0\\x_0=\frac{-4}{-4}=1[/tex]

Odp. Wzór tej funkcji to f(x)=-2x²+4x+6. Funkcja przyjmuje wartość -8 dla argumentów 1+2√2 oraz 1-2√2, a wartość 8 dla argumentu 1.

Zadanie 2.

x - wiek tego człowieka

[tex]x(x-58)+840 < 0\\x^2-58x+840 < 0\\\Delta=(-58)^2-4*1*840=3364-3360=4\\\sqrt{\Delta}=2\\x_1=\frac{58-2}{2}=\frac{56}2=28\\x_2=\frac{58+2}2=\frac{60}2=30[/tex]

[tex]x \in (28; 30), x\in \sym{Z}, x=29[/tex]

Odp. Ten człowiek ma 29 lat.

Zadanie 3.

[tex]f(3)=-8\\y_{min}=-8\\p=3, q=-8\\f(x)=a(x-3)^2-8\\x_0=5\\f(5)=0\\0=a(5-3)^2-8\\0=a*2^2-8\\0=4a-8\\-4a=-8 /:(-4)\\a=-2\\\\\\\text{Postac kanoniczna:}\\\boxed{f(x)=-2(x-3)^2-8}\\\\f(x)=-2(x^2-6x+9)-8\\f(x)=-2x^2+12x-18-8\\\\\text{Postac ogolna:}\\\boxed{f(x)=-2x^2+12-26}[/tex]

Zadanie 4.

[tex]y=-x^2+2bx-8[/tex]

Ta parabola ma ramiona skierowane w dół. Jeżeli wierzchołek ma znajdować się poniżej osi OX, funkcja nie może mieć miejsc zerowych.

[tex]\Delta < 0\\b^2-4ac < 0\\(2b)^2-4*(-1)*(-8) < 0\\4b^2-32 < 0 /+32\\4b^2 < 32 /:4\\b^2 < 8\\b < 2\sqrt2[/tex]

Odp. Aby wierzchołek tej funkcji leżał poniżej osi OX, parametr b musi być mniejszy od 2√2

Zadanie 5.

[tex]9x^2-6x \leq -1 /+1\\9x^2-6x+1 \leq 0\\\Delta=(-6)^2-4*9*1=36-36=0\\x_0=\frac{6}{18}=\frac13\\\\[/tex]

a>0 - ramiona paraboli skierowane w górę.

Nierownosc jest spelniona dla [tex]x=\frac1{3}[/tex]

[tex]x^2+\sqrt2x > 0\\\Delta=(\sqrt2)^2-4*1*0=2\\\sqrt{\Delta}=\sqrt2\\x_1=\frac{-\sqrt2-\sqrt2}2=\frac{-2\sqrt2}2=-\sqrt2\\x_2=\frac{-\sqrt2+\sqrt2}2=0\\a > 0 - \text{ramiona skierowane w dol}\\x\in(-\infty; -\sqrt2)\cup(0; \infty)[/tex]

Nierownosc jest spelniona dla przedzialu [tex](-\infty; -\sqrt2)\cup(0; \infty)[/tex]

Viz Inne Pytanie