Logarytmy
Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b.
[tex]\huge\boxed{log_ab=c \to a^c=b}[/tex]
Najważniejsze wzory:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}log_ab+log_ac=log_a(b*c)\\log_ab-log_ac=log_a(\frac{b}c)\\n*log_ab=log_ab^n=log_{a^{\frac1{n}}}b\\a^{log_ab}=b\\log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\end{array}}[/tex]
Równanie kwadratowe
Równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej wygląda następująco:
[tex]\huge\boxed{ax^2+bx+c=0}[/tex]
gdzie a, b i c to współczynniki liczbowe oraz a≠0
Rozwiązaniem równania kwadratowego są miejsca zerowe funkcji (miejsca przecięcia wykresu funkcji z osią OX).
Ilość miejsc zerowych określa wyróżnik funkcji kwadratowej Δ:
[tex]\huge\boxed{\Delta=b^2-4ac}[/tex]
- jeżeli Δ>0 - równanie ma dwa rozwiązania:
[tex]\huge\boxed{x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}[/tex] - jeżeli Δ=0 - równanie ma jedno rozwiązanie:
[tex]\huge\boxed{x_0=\frac{-b}{2a}}[/tex] - jeżeli Δ<0 - równanie nie ma rozwiązań.
Rozwiązanie:
Znajdujemy "a":
[tex]0,(3)log_3128+log_3\frac1{\sqrt[3]2}=alog_3\sqrt2\\\frac13log_3128+log_3\frac1{\sqrt[3]2}=alog_3\sqrt2\\log_3128^{\frac13}+log_3\frac1{\sqrt[3]2}=alog_3\sqrt2\\log_3\sqrt[3]{128}+log_3\frac1{\sqrt[3]2}=alog_3\sqrt2\\log_3(4\sqrt[3]2*\frac1{\sqrt[3]2})=alog_3\sqrt2\\log_34=alog_3\sqrt2\\log_34=log_3(\sqrt2)^a\\log_34=log_32^{\frac12a}\\4=2^{\frac12a}\\2^2=2^{\frac12a}\\2=\frac12a /*2\\\boxed{4=a}[/tex]
Znajdujemy "b":
[tex]log_281+log_23\sqrt3=\frac12b log_23\\log_2(81*3\sqrt3)=log_23^{\frac12b}\\3^{\frac12b}=81*3\sqrt3\\3^{\frac12b}=3^4*3*3^{\frac12}\\3^{\frac12b}=3^{4+1+\frac12}\\3^{\frac12b}=3^{5\frac12}\\\frac12b=5\frac12\\\frac12b=\frac{11}2 /*2\\\boxed{b=11}[/tex]
Znajdujemy "c":
[tex]2log_40,625-3log_40,05=(c-1)log_45\\2log_4\frac58-3log_4\frac1{20}=(c-1)log_45\\log_4(\frac58)^2-log_3(\frac1{20})^3=log_45^{c-1}\\log_4\frac{25}{64}-log_3\frac1{8000}=log_45^{c-1}\\log_4(\frac{25}{64}:\frac1{8000})=log_35^{c-1}\\5^{c-1}=\frac{25}{64}*8000\\5^{c-1}=25*125\\5^{c-1}=5^2*5^3\\5^{c-1}=5^{5}\\c-1=5 /+1\\\boxed{c=6}[/tex]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
[tex]4x^2+11x+6=0\\\Delta=11^2-4*4*6=121-96=25\\\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{-11-5}{8}=\frac{-16}8=-2\\x_2=\frac{-11+5}8=\frac68=\frac34[/tex]
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}x_1=-2\\x_2=\frac34\end{array}}[/tex]
