Ze zbioru {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4} losujemy ze zwracaniem trzy razy po jednej liczbie .
Kolejne wylosowane liczby zapisujemy jako współczynniki a,b,c funkcji f(x)= ax² + bx + c. Oblicz, na ile sposobów w ten sposób wzór;
a) funkcji malejącej
b) funkcji której zbiór wartości jest przedziałem postaci (- ∞ ; d〉, d ∈ R.

Na ile sposobów ze zbioru liter {A, B, C, D, E, F} można zbudować słowa 4-literowe (nawet te pozbawione sensu)?
Za każdą z liter tego słowa możemy wstawić jedną z 6 dostępnych liter (litery mogą się powtarzać) zatem:
6*6*6*6=6⁴=1296
Na ile sposobów ze zbioru liter {A, B, C, D, E, F} można zbudować słowa 4-literowe (nawet te pozbawione sensu) w taki sposób, aby litery nie powtarzały się?
Za pierwszą literę słowa możemy wybrać jedną z 6 dostępnych liter, a za każdą następną - o 1 mniej (ponieważ litery nie mogą się powtarzać), zatem:
6*5*4*3=360

Rozwiązanie:

[tex]Z=\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}[/tex]

[tex]n=10[/tex]

a)

Funkcja kwadratowa jest jednocześnie rosnąca i malejąca w różnych zakresach, w zależności od współczynnika stojącego przy x².

Jeżeli poszukujemy wyłącznie funkcji malejącej, musimy pozbyć się x² ze wzoru, zatem:

a = 0 (1 możliwość)

W ten sposób powstaje nam funkcja liniowa o postaci f(x)=bx+c, która w zależności od współczynnika b będzie:

malejąca dla b<0
rosnąca dla b>0
stała dla b=0

Poszukujemy funkcji malejącej, dlatego za b możemy przyjąć wyłącznie te elementy zbioru Z, które są mniejsze od 0, zatem:

b = {-5, -4, -3, -2, -1} (5 możliwości)

Liczby są losowane ze zwracaniem, dlatego za współczynnik b można wylosować każdą z dostępnych w zbiorze liczb.

c = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4} (10 możliwości)

Ilość możliwych sposobów:

1*5*10=50

Odp. Funkcję malejącą można zapisać na 50 sposobów.

b)

Jeżeli zbiorem wartości jest przedział (-∞; d> dla d∈R, oznacza to, że mamy do czynienia z parabolą (i tylko parabolą, ponieważ zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych x∈R : (-∞; ∞) lub dla funkcji stałej: {d}), w której zwrot ramion jest skierowany w dół, zatem a<0

a={-5, -4, -3, -2, -1} (5 możliwości).

d jest wierzchołkiem paraboli, zatem ma wzór: [tex]\frac{-\Delta}{4a}[/tex] gdzie a≠0 (tę liczbę już wykluczyliśmy wyżej).

[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]

za b i c możemy podstawic każdą liczbę ze zbioru, zatem:

b = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4} (10 możliwości)

c = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4} (10 możliwości)

Ilość możliwych sposobów:

5*10*10=500

Odp. Funkcję, której zbiór wartości jest przedziałem postaci (-∞; d> można zapisać na 500 sposobów.