Witam serdecznie chicałbym prosić o pomoc w wyjaśnieniu a takzę wykonaniu poniższego przykładu ,szególnie chodzi mi o [x] bo nie mam zadnego pojecia co z nim zrobic

A) x^2 -2[x]-8=0

[tex]\underline{1.\, 2[x] > 2(x-1)}\\\\x^2-8 > 2x-2\\x^2-2x+1 > 7\\(x-1)^2 > 7\\x-1 > \sqrt7 \vee x-1 < -\sqrt7\\x > 1+\sqrt7 \vee x < 1-\sqrt7\\x\in(-\infty,1-\sqrt7)\cup(1+\sqrt7,\infty)[/tex]

[tex]\underline{2.\, 2[x]\leq2x}\\\\x^2-8\leq2x\\x^2-2x+1\leq9\\(x-1)^2\leq9\\x-1\leq 3 \wedge x-1\geq-3\\x\leq4 \wedge x\geq -2\\x\in\langle -2,4\rangle[/tex]

Sumujemy rozwiązania:

[tex]x\in\langle -2,4\rangle \vee x\in(-\infty,1-\sqrt7)\cup(1+\sqrt7,\infty)\\x\in\langle-2,1-\sqrt7)\cup(1+\sqrt7,4\rangle[/tex]

Z powyższego wnioskujemy, że [tex][x]\in\{-2,3,4\}[/tex].

Podstawiamy kolejno powyższe wartości pod [tex][x][/tex] do wyjściowego równania:

[tex][x]=-2[/tex]

[tex]x^2-2\cdot (-2)-8=0\\x^2+4-8=0\\x^2=4\\x=-2 \vee x=2[/tex]

[tex]2\not \in\langle-2,1-\sqrt7)\cup(1+\sqrt7,4\rangle[/tex] zatem [tex]x=-2[/tex]

[tex][x]=3[/tex]

[tex]x^2-2\cdot3-8=0\\x^2-6-8=0\\x^2=14\\x=-\sqrt{14} \vee x=\sqrt{14}[/tex]

[tex]-\sqrt{14} \not \in\langle-2,1-\sqrt7)\cup(1+\sqrt7,4\rangle[/tex] zatem [tex]x=\sqrt{14}[/tex]

[tex][x]=4[/tex]

[tex]x^2-2\cdot4-8=0\\x^2-8-8=0\\x^2=16\\x=-4 \vee x=4[/tex]

[tex]-4\not \in\langle-2,1-\sqrt7)\cup(1+\sqrt7,4\rangle[/tex] zatem [tex]x=4[/tex]

A więc ostatecznie [tex]x\in\{-2,\sqrt{14},4\}[/tex].