Odpowiedź:
[tex]\huge \boxed{V=1536~[j^{3} ] ~~\land~~ sin\alpha =\dfrac{6\sqrt{41} }{41}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Do rozwiązania tego zadania korzystamy z:
W pierwszej kolejności zaczniemy od narysowania rysunku, który ułatwi nam rozwiązanie ⇒ rysunek pomocniczy w załączniku.
Wprowadzamy oznaczenia i informacje z treści zadania:
[tex]\huge\boxed{I.}[/tex]
zaczniemy od wyznaczenia długości [tex]\mid FB\mid[/tex]
trójkąt ABF ⇒ trójkąt prostokątny więc skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa
[tex]\mid AF\mid =\dfrac{1}{2} a~~\land~~\mid AB\mid = a[/tex] - długości przyprostokątnych
[tex]\mid FB\mid =?[/tex] - długość szukanej przeciwprostokątnej
[tex]\mid FB\mid^{2} =\mid AB\mid ^{2} +\mid AF\mid ^{2} \\\\\mid FB\mid^{2}= a^{2} +(\frac{1}{2}a )^{2} \\\\\mid FB\mid^{2}=\dfrac{5}{4} a^{2}~~\land ~~\mid FB\mid > 0 \\\\\huge\boxed{\mid FB\mid=\dfrac{a\sqrt{5} }{2}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{II.}[/tex]
korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa do obliczenia a ⇒ wykorzystamy trójkąt BEF
[tex]\mid FB\mid^{2} +\mid EF\mid ^{2} = \mid BE\mid ^{2} ~\land~\mid BE\mid =4\sqrt{41}~\land~ \mid FB\mid^{2}=\dfrac{5}{4} a^{2}~\land~\mid EF\mid^{2}=9 a^{2}\\\\\dfrac{5}{4} a^{2}+9 a^{2}=16\cdot 41\\\\9\dfrac{5}{4} a^{2}=16\cdot 41\\\\\dfrac{41}{4} a^{2}=16\cdot 41 ~~ \mid \div \dfrac{41}{4} \\\\ a^{2}=64~~\land~~a > 0\\\\\huge\boxed{a=8~[j]}[/tex]
[tex]a=8~[j]~~\land~~ H=3a~~\Rightarrow~~\huge\boxed{ H=24~[j]}[/tex]
[tex]\huge\boxed{III.}[/tex]
Obliczamy objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:
[tex]V=a^{2} \cdot H ~~\land~~a=8~[j]~~\land~~ H=24~[j]\\\\V=64~[j^{2} ]\cdot 24 ~[j]\\\\\huge\boxed{V=1536~~[j^{3} ]}[/tex]
[tex]\huge\boxed{IV.}[/tex]
Obliczamy sinα:
[tex]sin\alpha =\dfrac{\mid FE\mid }{ \mid BE\mid } ~\land~\mid BE\mid =4\sqrt{41}~\land~ \mid FE\mid=H=24 \\\\sin\alpha =\dfrac{24\!\!\!\!\!\diagup^6}{4\!\!\!\!\diagup_1\sqrt{41} } \cdot \dfrac{\sqrt{41} }{\sqrt{41} } \\\\\\\\\huge\boxed{sin\alpha =\dfrac{6\sqrt{41} }{41}}[/tex]
