Cześć!
Przykład a)
[tex]W(x) = x ^ 5 + x ^ 4 - 2x ^ 3 - 2x ^ 2 + x + 1[/tex]
Zauważamy, że z wyrazów [tex]x^5 + x^4[/tex] możemy wyłączyć [tex]x^4[/tex]. Z wyrazów [tex]-2x^3 -2x^2[/tex] można wyłączyć [tex]-2x^2[/tex]. Ostatnie dwa wyrazy pozostawimy bez zmian. Wówczas:
[tex]W(x)=x^4(x+1)-2x^2(x+1)+x+1[/tex]
Zauważamy, że wszędzie pojawia nam się czynnik [tex](x+1)[/tex] - wyłączmy również go:
[tex]W(x)=(x+1)(x^4-2x^2+1)[/tex]
Zawartość drugiego nawiasu to wzór skróconego mnożenia (kwadrat różnicy), zatem ostatecznie:
[tex]W(x)=(x+1)(x^2-1)^2=(x+1)[(x-1)(x+1)]^2=(x+1)^3(x-1)^2[/tex]
Przykład b)
[tex]W(x) =4 x ^ 5 - 8x ^ 4 - 4x ^ 3 + 8x ^ 2 + x - 2[/tex]
Zauważamy, że z wyrazów [tex]4x^5-8x^4[/tex] możemy wyłączyć [tex]4x^4[/tex]. Z wyrazów [tex]-4x^3 +8x^2[/tex] można wyłączyć [tex]-4x^2[/tex]. Ostatnie dwa wyrazy pozostawimy bez zmian. Wówczas:
[tex]W(x)=4x^4(x-2)-4x^2(x-2)+x-2[/tex]
Zauważamy, że wszędzie pojawia nam się czynnik [tex](x-2)[/tex] - wyłączmy również go:
[tex]W(x)=(x-2)(4x^4-4x^2+1)[/tex]
Zawartość drugiego nawiasu to wzór skróconego mnożenia (kwadrat różnicy), zatem ostatecznie:
[tex]W(x)=(x-2)(2x^2-1)^2[/tex]
Przykład c)
[tex]W(x) = 3x ^ 5 + 2x ^ 4 - 6x ^ 3 - 4x ^ 2 - 9x - 6[/tex]
Zauważamy, że z wyrazów [tex]3x^5+2x^4[/tex] możemy wyłączyć [tex]x^4[/tex]. Z wyrazów [tex]-6x^3-4x^2[/tex] można wyłączyć [tex]-2x^2[/tex]. Z ostatnich dwóch wyrazów wyłączamy [tex](-3)[/tex]. Wówczas:
[tex]W(x)=x^4(3x+2)-2x^2(3x+2)-3(3x+2)[/tex]
Zauważamy, że wszędzie pojawia nam się czynnik [tex](3x+2)[/tex] - wyłączmy również go:
[tex]W(x)=(3x+2)(x^4-2x^2-3)[/tex]
Drugi czynnik możemy spróbować rozłożyć. Załóżmy, że [tex]x^2=t \ \wedge \ t\geq 0[/tex]. Wówczas:
[tex]x^4-2x^2-3 \equiv t^2-2t-3[/tex]
Rozwiążmy równanie kwadratowe dla zmiennej t:
[tex]\Delta_t=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16\\\\\sqrt{\Delta_t}=4[/tex]
Δ>0, więc mamy dwa rozwiązania:
[tex]t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_t}}{2a} = \frac{-(-2)-4}{2\cdot 1} = \frac{2-4}{2} = \frac{-2}{2}=-1[/tex]
Nie spełnia to naszych założeń, bo [tex]t\geq 0 \ \wedge \ \neg(-1\geq0)[/tex].
[tex]t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_t}}{2a} = \frac{-(-2)+4}{2\cdot1} = \frac{6}{2}=3[/tex]
Zapiszmy wyrażenie uzależnione od zmiennej t w postaci iloczynowej:
[tex](t-(-1))(t-3)=(t+1)(t-3)[/tex]
Wracając z podstawieniem [tex]t=x^2:[/tex]
[tex](x^2+1)(x^2-3) \equiv x^4-2x^2-3[/tex]
Podstawiając, otrzymujemy ostateczną postać wielomianu po rozkładzie:
[tex]W(x)=(3x+2)(x^2+1)(x^2-3)[/tex]
Pozdrawiam!
