Odpowiedź :
- [tex]a_n=n^4[/tex]
- [tex]b_n=-n[/tex]
- [tex]\frac{-n}{n}[/tex]
- [tex]\frac{n}{n^2}[/tex]
- [tex]\frac{10n^2+1}{2n^2}[/tex]
Ciąg
Są to uporządkowane liczby rzeczywiste. Każdy z elementów tzw. wyrazy mają swoją pozycję.
Przykłady
[tex]a_n=[/tex]∞
Aby ciąg dążył do nieskończoności to musi składać się tylko z liczb naturalnych dodatnich, czyli np.
[tex]a_n=n^4\\a_n=2n\\a_n=(n+5)2[/tex]
[tex]b_n=-[/tex]∞
Aby ciąg dążył do minus nieskończoności to musi składać się tylko z liczb naturalnych ujemnych, czyli np.
[tex]b_n=-n\\b_n=-x^3\\b_n=-n+2[/tex]
Aby [tex]\frac{a_n}{b_n}[/tex]=-∞, to tylko jeden z tych ciągów musi być ujemny, ponieważ
- liczba ujemna podzielić przez liczbę dodatnią = liczba ujemna
- liczba dodatnie podzielić przez liczbę ujemną = liczba ujemna
czyli,
[tex]\frac{-n}{n}[/tex]
[tex]\frac{n^2+4-1}{-n^7}[/tex]
Aby [tex]\frac{a_n}{b_n}=[/tex]0, tylko wtedy gdy w mianowniku współczynnik przy największej potędze n, jest większy od współczynnika w liczniku przy tej samej potędze, czyli np.
[tex]\frac{n}{n^2}[/tex]
w liczniku nie mamy [tex]{n^2}[/tex], więc będzie to dążyło do 0.
Sprawdzenie:
[tex]\frac{n}{n^2}[/tex]=
najpierw dzielimy przez największą potęgę mianownika mamy więc
[tex]\frac{n}{n^2} =\frac{\frac{n}{n^2} }{\frac{n^2}{n^2} }=[/tex]
możemy skrócić licznik przez n, a w mianowniku powstanie nam 1.
=[tex]\frac{\frac{1}{n} }{1}[/tex]
[tex]\frac{1}{n}[/tex] dąży do zera, więc otrzymamy
[[tex]{\frac{0}{1}}[/tex]]=0
[tex]\frac{a_n}{b_n} =5[/tex]
Aby to było równe 5, to współczynniki, w mianowniku i liczniku przy tych samych najwyższych potęgach (czyli potęgi muszą być sobie równe) dają po podzieleniu 5, np.
[tex]\frac{10n^2+1}{2n^2}[/tex]
Sprawdzenie:
najpierw dzielimy przez największą potęgę mianownika mamy więc
[tex]\frac{10n^2+1}{2n^2}=\frac{\frac{10n^2+1}{n^2} }{\frac{2n^2}{n^2} }[/tex]
możemy skrócić licznik przez [tex]n^2[/tex], a w mianowniku powstanie nam 2, bo [tex]n^2[/tex] się skrócą
=[tex]\frac{10+\frac{1}{n^2} }{2}[/tex]
[tex]\frac{1}{n^2}[/tex] dąży do 0, więc mamy
=[tex]\frac{10}{2}=5[/tex]