Ilovelamborghioxe7zuviz
Rozwiązane

Dane są zbiory A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,2,3,4,6,7,8,9}. Ile jest par (a, b) takich, że:

a) a należy do A i b należy do B
b) a należy do A i b należy do B oraz iloczyn a*b jest nieparzysty
c) a należy do A i b należy do B oraz iloczyn a*b jest podzielny przez 3
d) a należy do A i b należy do B oraz suma a + b jest parzysta
e) a należy do A i b należy do B oraz a + b jest większe lub równe 10

Odpowiedź :

Takich par liczb spełniających kolejne warunki jest: a) 48, b) 12, c) 34, d) 24, e) 38.

Kombinatoryka

Kombinatoryka to dział matematyki, który pomaga znaleźć odpowiedzi na pytania typu: "Na ile sposobów możemy ustawić 4 osoby w kolejce?", "Ile różnych kodów możemy stworzyć z liczb 1, 2, 3, 4, 5?".

Aby rozwiązywać zadania z tego działu, możemy stosować wzory na wariacje z powtórzeniami i bez, permutacje i kombinacje.

Jednak wiele zadań możemy rozwiązać bez pamiętania tych wzorów, a jedynie stosując regułę mnożenia.

Mamy dwa zbiory: [tex]A=\{1,2,3,4,5,6\},B=\{1,2,3,4,6,7,8,9\}[/tex]. Poszukamy par liczb [tex](a,b)[/tex] spełniających podane warunki.

a) Szukamy par liczb [tex](a,b)[/tex], gdzie [tex]a\in A,b\in B[/tex]. Liczbę a możemy wybrać na 6 sposobów, liczbę b na 8 sposobów. Zatem takich par jest

[tex]6*8=48[/tex].

b) Szukamy par liczb [tex](a,b)[/tex], gdzie [tex]a\in A,b\in B[/tex] oraz iloczyn [tex]a*b[/tex] jest nieparzysty. Tylko iloczyn dwóch liczb nieparzystych daje w wyniku liczbę nieparzystą, zatem liczbę a możemy wybrać na 3 sposoby, liczbę b na 4 sposoby. Zatem takich par jest

[tex]3*4=12[/tex].

c) Szukamy par liczb [tex](a,b)[/tex], gdzie [tex]a\in A,b\in B[/tex] oraz iloczyn [tex]a*b[/tex] jest podzielny przez 3. Możemy zatem wybierać ze zbioru A wielokrotności liczby 3, a ze zbioru B liczby dowolnie, albo na odwrót. Zatem liczbę a możemy wybrać na 2 sposoby, liczbę b na 8 sposobów, lub liczbę a wybieramy na 6 sposobów, a liczbę b na 3 sposoby. Zatem takich par jest

[tex]2*8+6*3=16+18=34[/tex].

d) Szukamy par liczb [tex](a,b)[/tex], gdzie [tex]a\in A,b\in B[/tex] oraz suma [tex]a+b[/tex] jest parzysta. Suma dwóch liczb nieparzystych lub suma dwóch liczb parzystych daje w wyniku liczbę parzystą. Zatem z obu zbiorów wybieramy jednocześnie liczby nieparzyste lub jednocześnie liczby parzyste. Zatem liczbę a wybieramy na 3 sposoby, liczbę b na 4 sposoby (nieparzyste), lub liczbę a wybieramy na 3 sposoby, liczbę b na 4 sposoby (parzyste). Więc takich par liczb jest

[tex]3*4+3*4=12+12=24[/tex].

e) Szukamy par liczb [tex](a,b)[/tex], gdzie [tex]a\in A,b\in B[/tex] oraz [tex]a+b \ge10[/tex]. Rozpiszemy kolejne możliwości:

  • dla a=1 liczbę b możemy wybrać na 1 sposób (1*1=1);
  • dla a=2 liczbę b możemy wybrać na 2 sposoby (1*2=2);
  • dla a=3 liczbę b możemy wybrać na 3 sposoby (1*3=3);
  • dla a=4 liczbę b możemy wybrać na 4 sposoby (1*4=4);
  • dla a=5 liczbę b możemy wybrać na 4 sposoby (1*4=4);
  • dla a=6 liczbę b możemy wybrać na 5 sposobów (1*5=5);
  • dla b=1 liczby a nie wybierzemy;
  • dla b=2 liczby a nie wybierzemy;
  • dla b=3 liczby a nie wybierzemy;
  • dla b=4 liczbę a możemy wybrać na 1 sposób (1*1=1);
  • dla b=6 liczbę a możemy wybrać na 3 sposoby (1*3=3);
  • dla b=7 liczbę a możemy wybrać na 4 sposoby (1*4=4);
  • dla b=8 liczbę a możemy wybrać na 5 sposobów (1*5=5);
  • dla b=9 liczbę a możemy wybrać na 6 sposobów (1*6=6).

Zatem takich par jest

[tex]1+2+3+4+4+5+1+3+4+5+6=38[/tex].

#SPJ1

Viz Inne Pytanie