Boki trójkąta ABC są cięciwami szukanego okręgu. Jego środek znajduje się na przecięciu symetralnych tych cięciw.
Symetralna boku AB:
Tu sprawa jest prosta, gdyż, odcinek AB jest równoległy do osi OY. Środek tego odcinak ma współrzędne:
[tex]S_{1}=(\frac{-5+7}{2};\frac{-1-1}{2})=(1;-1)[/tex]
równanie symetralnej:
[tex]x=1[/tex]
Symetralna boku BC:
Bok ten jest zawarty w prostej o współczynniku kierunkowym:
[tex]a=\frac{7+1}{3-7}=-2[/tex]
Szukana symetralna jest oczywiście prostopadła do tej prostej, więc jej współczynnik kierunkowy spełnia warunek:
[tex]a_1a=-1\\a_1=-\frac{1}{a}=\frac{1}{2}[/tex]
Natomiast środek odcinka BC, przez który przechodzi szukana symetralna:
[tex]S_2=(\frac{7+3}{2};\frac{-1+7}{2})=(5;3)[/tex]
To pozwala napisać równanie:
[tex]3=\frac{1}{2}\cdot 5+b\\b=\frac{1}{2}\\y=\frac{x+1}{2}[/tex]
oraz znaleźć punkt przecięcia dwóch symetralnych:
[tex]\left \{ {{x=1} \atop {y=\frac{x+1}{2}}} \right. \\\left \{ {{x=1} \atop {y=\frac{1+1}{2}=1}} \right.[/tex]
Ostatecznie, środek szukanego okręgu ma współrzędne:
[tex]S_o=(1;1)[/tex]
Można też to zrobić znacznie prościej, pisząc ogólne równanie okręgu o promieniu r i środku w punkcie (a,b):
[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex]
Jeżeli zapiszemy takie równanie dla punktów A,B,C:
[tex](-5-a)^2+(-1-b)^2=r^2\\(7-a)^2+(-1-b)^2=r^2\\(3-a)^2+(7-b)^2=r^2[/tex]
Odejmując stronami dwa pierwsze równania:
[tex](-5-a)^2-(7-a)^2=0\\25+10a+a^2-49+14a-a^2=0\\24a=24\ \Rightarrow a=1[/tex]
podstawiając ten wynik oraz odejmując stronami np. równanie pierwsze i trzecie:
[tex]36+(-1-b)^2-4-(7-b)^2=0\\32+1+2b+b^2-49+14b-b^2=0\\16b=16\ \Rightarrow b=1[/tex]
czyli współrzędne środka to:
[tex]S_o=(1;1)[/tex]
pozdrawiam
