Wykazaliśmy, że |CF| = [tex]\frac{9}{16}[/tex]|CB|
Rozwiązanie zadania zacznijmy od narysowania rysunku (załącznik). Niech |AB| = |BC| = |CA| = a. Trójkąt równoboczny to taki trójkąt, którego wszystkie boki mają tę samą długość, a kąty wewnętrzne są równe 60°. Jeśli z jednego wierzchołka poprowadzimy wysokość otrzymamy dwa trójkąty prostokątne o kątach 30°, 60° i 90°. Z własności takiego trójkąta wiemy, że [tex]h=\frac{a\sqrt3}{2}[/tex] co oznacza, że odcinek [tex]|CD| = \frac{a\sqrt3}{2}[/tex]. Dodatkowo z treści zadania wiemy, że [tex]|CE|=\frac{3}{4}|CD|[/tex]. Dzięki temu możemy obliczyć długość odcinka |CE|:
[tex]|CE|=\frac{3}{4}|CD|\\\\|CE|=\frac{3}{4}*\frac{a\sqrt3}{2}\\\\|CE| = \frac{3\sqrt3a}{8}[/tex]
Zauważmy teraz, że trójkąty CBD oraz CEF są podobne. Dlaczego? Oba te trójkąty są prostokątne, czyli wiemy już, że na pewno mają jedną wspólną miarę kątów. Jeden i drugi trójkąt mają też wspólny kąt ECF, zatem już dwa kąty w tych trójkątach są jednakowej miary. To z kolei oznacza, że i trzeci kąt w tych trójkątach musi mieć jednakową miarę. Zatem na mocy cechy podobieństwa KKK (kąt-kąt-kąt) stwierdzamy, że trójkąty CBD i CEF są podobne.
Skoro zachodzi nam podobieństwo, to znaczy, że możemy ułożyć proporcję, ponieważ stosunki odpowiednich długości w obu trójkątach będą identyczne. Zatem:
[tex]\frac{|CF|}{|CD|}=\frac{|CE|}{|CB|}\\\\\frac{|CF|}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\frac{\frac{3\sqrt3a}{8}}{a}\\\\|CF|=\frac{3\sqrt3}{8}*\frac{a\sqrt3}{2}\\\\|CF|=\frac{3\sqrt3 *\sqrt3a}{8*2}\\\\|CF|=\frac{9a}{16}=\frac{9}{16}a[/tex]
Jako, że przez a oznaczyliśmy długość boku trójkąta równobocznego to możemy zapisać:
[tex]|CF|=\frac{9}{16}|BC|[/tex]
co jest dokładnie tym czego poszukiwaliśmy. Co kończy nasz dowód.
