Załóżmy, że [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] oraz [tex]x > 1[/tex].
Zauważmy, że:
[tex]2x+2\sqrt{2x-1}=2x-1+2\sqrt{2x-1}+1=(\sqrt{2x-1}+1)^2[/tex], oraz
[tex]2x-2\sqrt{2x-1}=2x-1-2\sqrt{2x-1}+1=(\sqrt{2x-1}-1)^2[/tex].
Wtedy:
[tex](*)\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}=\sqrt{(\sqrt{2x-1}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{2x-1}-1)^2}[/tex]
Z założeń wynika, że [tex]2x-1 > 1[/tex] , czyli też [tex]\sqrt{2x-1} > 1[/tex],
zatem [tex]\sqrt{2x-1}+1 > 0[/tex] oraz [tex]\sqrt{2x-1}-1 > 0[/tex].
Stąd równość [tex](*)[/tex] możemy uprościć dalej następująco:
[tex]\sqrt{(\sqrt{2x-1}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{2x-1}-1)^2}=\\ \\=\sqrt{2x-1}+1-(\sqrt{2x-1}-1)= \\ \\ = \sqrt{2x-1}+1-\sqrt{2x-1}+1=2[/tex]
Zatem
[tex]\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}=2[/tex]
