A - zdarzenie, że w dwóch losach otrzymamy łącznie kwotę 40 zł.
[tex]\bold{P(A)=\dfrac1{20}\cdot\dfrac{10}{19}+\dfrac2{20}\cdot\dfrac4{19}+ \dfrac3{20}\cdot\dfrac2{19}+\dfrac4{20}\cdot\dfrac2{19}+ \dfrac{10}{20}\cdot\dfrac1{19}= }\\\\\\\bold{\qquad\ \ = \dfrac1{10}\cdot\dfrac5{19}+ \dfrac1{10}\cdot\dfrac4{19}+ \dfrac3{10}\cdot\dfrac1{19}+ \dfrac4{10}\cdot\dfrac1{19}+ \dfrac{5}{10}\cdot\dfrac1{19}= }\\\\\\\bold{\qquad\ \ = \dfrac5{190}+\dfrac4{190}+ \dfrac3{190}+ \dfrac4{190}+ \dfrac{5}{190}=\dfrac{21}{190}}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold{\,P(A)=\dfrac{21}{190}}\, }[/tex]
Rysunek "drzewka" w załączniku.
Mamy losy z wygranymi różnej wysokości, a suma z dwóch losowań ma być konkretną kwotą, zatem wynik, jakiego potrzebujemy w drugim losowaniu zależy od tego, co wylosowaliśmy w pierwszym.
Musimy rozważyć różne opcje, dlatego najprostszym sposobem jest zrobienie tego za pomocą "drzewka" (drzewa stochastycznego).
Losujemy dwa razy, więc mamy dwuetapowe doświadczenie.:
W pierwszym losowaniu, mamy 20 losów: jeden z wygraną 40 zł, dwa z wygraną 30 zł, trzy z wygraną 20 zł oraz cztery z wygraną 10 zł i dziesięć pustych, czyli 0 zł.
Stąd prawdopodobieństwa cząstkowe przy odpowiednich gałęziach: [tex]\frac1{20}\,,\ \frac2{20}\,,\ \frac3{20}\,,\ \frac4{20}[/tex] i [tex]\frac{10}{20}[/tex]
W drugim losowaniu, mamy 19 losów, więc mianownikiem prawdopodobieństw cząstkowych jest 19, a ich liczniki zależą od tego, wylosowaliśmy w pierwszym:
Jeśli wylosowaliśmy 40 zł, to dopełnieniem jest pusty los, czyli mamy:
Jeśli wylosowaliśmy 30 zł, to dopełnieniem jest los z wygraną 10 zł (których mamy cztery), czyli mamy:
Jeśli wylosowaliśmy 20 zł, to dopełnieniem jest los z wygraną 20 zł (których mamy teraz dwa), czyli mamy:
Jeśli wylosowaliśmy 10 zł, to dopełnieniem jest los z wygraną 30 zł (których mamy dwa), czyli mamy:
Jeśli wylosowaliśmy pusty los, to dopełnieniem jest los z wygraną 40 zł (który jest tylko jeden), czyli mamy:
Zliczając prawdopodobieństwo z drzewa stochastycznego, cząstkowe prawdopodobieństwa zapisane wzdłuż gałęzi spełniających założenia mnożymy, a iloczyny otrzymane z poszczególnych gałęziami dodajemy.
