Odpowiedź :
Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa pudełka będą puste wynosi [tex]\frac{12}{25}[/tex].
Obliczanie prawdopodobieństwa.
Za zdarzenia elementarne przyjmujemy ciągi numerów pudełek, do których rozmieszczamy kolejne kule. Jest 5 pudełek, więc jest 5 możliwości. Zapisujemy więc, że:
|Ω | = 5 ⋅5 ⋅5⋅ 5⋅5 = [tex]5^{5}[/tex].
Następnie obliczmy, ile jest zdarzeń sprzyjających. Dwa z pudełek, które mają być puste możemy wybrać na:
[tex]\frac{5*4}{2}=10[/tex] sposobów.
Kiedy to zrobimy pozostaje nam dalej 5 kul i 3 pudełka. Mamy następujące możliwości:
- w jednym pudełku są trzy kule i dwóch pozostałych po jednej,
- w dwóch są po dwie kule, a w trzecim jedna.
Rozważmy każdy z tych przypadków z osobna.
- Jeżeli w jednym z pudełek mają być trzy kule, to możemy ustalić, które to z pudełek na 3 sposoby, potem na
5 * 4 = 20 sposobów wkładamy po jednej kuli do dwóch pozostałych pudełek i na koniec pozostałe 3 kule wkładamy do wybranego wcześniej pudełka. W sumie jest więc 10 *3*20 = 25 *24 takich zdarzeń.
- Jeżeli w jednym z pudełek ma być jedna kula, a w pozostałych po dwie, to pudełko z jedną kulą możemy wybrać na 3 sposoby, potem na 5 sposobów wybieramy kulę, która się w niej znajdzie.
Następnie na [tex]\frac{4*3}{2}[/tex] = 6 sposobów wybieramy dwie kule do kolejnego pudełka i na koniec pozostałe dwie kule wkładamy do ostatniego pudełka. W sumie jest więc 10 *3* 5*6 = 25* 36 takich zdarzeń.
Teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa pudełka będą puste.
W tym celu obliczone zdarzenia dzielimy przez |Ω |.
[tex]\frac{25*24+25*36}{5^{5} } =\frac{24+36}{5^{3}} =\frac{60}{5^{3}} =\frac{12}{25}[/tex] co stanowi naszą odpowiedź.