Cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej wynosi [tex]\frac{\sqrt{10} }{4}[/tex].
Rysunek pomocniczy znajduje się w załączniku.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Kąt między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną w graniastosłupie to kąt między przekątną ściany bocznej (na naszym rysunku będzie to odcinek BD) i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę sąsiedniej ściany bocznej (na naszym rysunku będzie to ściana BCFE). Środek krawędzi EF jest rzutem prostokątnym punktu D, na płaszczyznę BCFE. Oznaczmy go literką G na rysunku. Rzutem przekątnej BD na płaszczyznę BCFE jest odcinek BG.
Trójkąt BDG jest trójkątem prostokątnym z kątem prostym przy wierzchołku G. Oznaczmy kąt GBD, czyli kąt między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną, jako α.
Aby obliczyć cosinus kąta potrzebujemy długości boków BG oraz BD. Aby wyznaczyć długość BD skorzystamy z tego, że ten bok to przekątna kwadratu o boku a. Zatem bok ten ma miarę a√2.
Aby wyznaczyć długość boku BG skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym EGB. Bok EG jest połową boku kwadratu, ma więc miarę [tex]\frac{1}{2}a[/tex]:
[tex]a^{2}+(\frac12a)^2=c^2\\ a^2+\frac14a^2=c^2\\c^2=\frac54a^2\\c=\frac{\sqrt{5} }{2} a[/tex]
Długość boku BG wynosi [tex]\frac{\sqrt{5} }{2} a[/tex].
Aby obliczyć cosinus kąta w trójkącie DBG musimy podzielić bok BG przez BD:
[tex]cos\alpha =\frac{\frac{\sqrt{5} }{2}a }{\sqrt{2}a } \\cos\alpha= \frac{\sqrt{5} }{2\sqrt{2} } \\\\cos\alpha =\frac{\sqrt{10} }{4}[/tex]
Cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej jest równy [tex]\frac{\sqrt{10} }{4}[/tex].
