Odpowiedź :
a) Wzór funkcji f określającej wartość sumy kwadratów składników to f(x) = 2x² - 40x + 400.
b) Wartość sumy w przypadku, gdy x = 2 wynosi 328 oraz gdy x = 4 wynosi 272.
c) Wzór funkcji f w postaci kanonicznej: f(x) = 2*( x - 10 )² + 200.
d) Funkcja f ma wartość najmniejszą, która wynosi 200.
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej to:
f(x)=a(x−p)²+q
gdzie:
a - współczynnik znajdujący się przy x² (a≠0), ponadto współczynnik ten określa nam, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli
p,q - współczynniki określające współrzędne wierzchołka paraboli
Jeżeli znamy postać ogólną funkcji kwadratowej to bez problemu możemy wyznaczyć również postać kanoniczną tej funkcji (z której łatwiej nam odczytać współrzędne wierzchołka paraboli).
Rozwiązanie:
1) Oznaczamy dwa składniki liczby 20:
x - pierwszy składnik
y - drugi składnik
2) Wiedząc, że suma składników jest równa 20 wyznaczamy y:
x + y = 20
y = 20 - x
3) Przechodzimy do rozwiązywania punktów:
a) wyznaczamy wzór funkcji f określającej wartość sumy kwadratów tych składników:
f(x) = x²+ y² = x²+ (20 - x)²
f(x) = x² + 400 - 40x + x²
f(x) = 2x² - 40x + 400
Wzór funkcji to f(x) = 2x² - 40x + 400.
b) Oblicz wartość sumy w przypadku, gdy x = 2 oraz gdy x = 4:
f(2) = 2 * 2² - 40*2 + 400 = 8 - 80 + 400 = 328
f(4) = 2 * 4² - 40*4 + 400 = 32 - 160 + 400 = 272
c) Przedstawiamy wzór funkcji f w postaci kanonicznej:
Obliczamy deltę:
Δ = b² - 4ac = (-40)² - 4*2*400 = 1600 - 3200 = -1600
Wyliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:
p = -b/2a oraz q = -Δ/4a
p = -(-40)/2*2 oraz q = -(-1600)/4*2
p = 10 oraz q = 200
Postać kanoniczna funkcji f :
f(x) = 2*( x - 10 )² + 200
d) Funkcja f ma najmniejszą wartość, ponieważ współrzędna przy x² ma wartość jest dodatnia, więc ramiona paraboli skierowane są do góry.
Zatem najmniejsza wartość funkcji f znajduję się w wierzchołku i będzie równa q = 200.