Planimetria. Twierdzenie Pitagorasa.
Środkowa ma długość √15
ROZWIĄZANIE:
Kreślimy rysunek poglądowy.
Wzór Herona:
Niech [tex]a,\ b,\ c[/tex] będą długościami boków trójkąta oraz [tex]p[/tex] będzie połową obwodu trójkąta. Wówczas pole trójkąta będzie wyrażało się wzorem:
[tex]P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\\\p=\dfrac{a+b+c}{2}[/tex]
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]a=10,\ b=8,\ c=4\\\\p=\dfrac{10+8+4}{2}=11\\\\P=\sqrt{11\cdot(11-10)(11-8)(11-4)}=\sqrt{11\cdot1\cdot3\cdot7}\\\\\boxed{P=\sqrt{231}}[/tex]
Pole trójkąta:
[tex]P=\dfrac{a\cdot h}{2}[/tex]
[tex]a[/tex] - podstawa trójkąta
[tex]h[/tex] - wysokość trójkąta opuszczona na bok [tex]a[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\sqrt{231}=\dfrac{10h}{2}\\\\5h=\sqrt{231}\qquad|:5\\\\\boxed{h=\dfrac{\sqrt{231}}{5}}[/tex]
Twierdzenie Pitagorasa:
[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
[tex]a,\ b[/tex] - długości przyprostokątnych
[tex]c[/tex] - długość przeciwprostokątnej
Podstawiamy:
[tex]a=x,\ b=\dfrac{\sqrt{231}}{5},\ c=4\\\\x^2+\left(\dfrac{\sqrt{231}}{5}\right)^2=4^2\\\\x^2+\dfrac{231}{25}=16\qquad|-\dfrac{231}{25}\\\\x^2=\dfrac{400-231}{25}\\\\x^2=\dfrac{169}{25}\to x=\sqrt{\dfrac{169}{25}}\\\\\boxed{x=\dfrac{13}{5}}[/tex]
Wówczas:
[tex]y=5-x\to y=5-\dfrac{13}{5}\\\\y=\dfrac{25-13}{5}\\\\\boxed{y=\dfrac{12}{5}}[/tex]
Korzystamy ponownie z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]s^2=\left(\dfrac{\sqrt{231}}{5}\right)^2+\left(\dfrac{12}{5}\right)^2\\\\s^2=\dfrac{231}{25}+\dfrac{144}{25}\\\\s^2=\dfrac{375}{25}\\\\s^2=15\to \boxed{s=\sqrt{15}}[/tex]
