Spójrz na rysunek pomocniczy. Naniosłem na niego wszystkie dane z treści zadania. Dodatkowo oznaczyłem punkt [tex]Q[/tex], w którym przecinają się odcinki [tex]EM[/tex] i [tex]CD[/tex].
Zauważ, że ramiona kąta [tex]\sphericalangle AEM[/tex] są przecięte dwiema równoległymi prostymi: na jednej położony jest odcinek [tex]DQ[/tex], na drugiej – [tex]AM[/tex].
Z twierdzenia Talesa można wywnioskować, że skoro [tex]AM\ ||\ DQ[/tex], [tex]E \notin AM[/tex] oraz [tex]E \notin DQ[/tex], to [tex]\frac{|DE|}{|AE|} = \frac{|EQ|}{|EM|} = \frac{|DQ|}{|AM|}[/tex].
Wiedząc, że [tex]|AM| = y[/tex], [tex]|AD| = x[/tex] i [tex]|DE| = 2x[/tex], możemy zatem wyliczyć [tex]|DQ|[/tex]:
[tex]\frac{|DE|}{|AE|} = \frac{2x}{3x} = \frac{|DQ|}{|AM|} = \frac{|DQ|}{y}\\ |DQ| = \frac{2}{3}y[/tex]
Trójkąty [tex]DPQ[/tex] i [tex]BMP[/tex] są trójkątami podobnymi, gdyż proste równoległe [tex]AB[/tex] i [tex]CD[/tex] przecinają ramiona kątów wierzchołkowych [tex]\sphericalangle DPQ[/tex] i [tex]\sphericalangle BPM[/tex].
Tak więc [tex]\frac{|BP|}{|DP|} = \frac{|BM|}{|DQ|}[/tex], a ponieważ znane są wartości [tex]|DQ|[/tex] i [tex]|BM|[/tex], można z łatwością obliczyć stosunek [tex]|BP|[/tex] do [tex]|DP|[/tex]:
[tex]\frac{|BP|}{|DP|} = \frac{4y}{\frac{2}{3} y} = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6[/tex]
Teraz przekształćmy nieco powyższe równanie, mnożąc obie strony przez [tex]|DP|[/tex]:
[tex]|BP| = 6|DP|[/tex]
Stąd wiadomo, że [tex]|BP|[/tex] stanowi sześciokrotność [tex]|DP|[/tex], co należało udowodnić.
