Odpowiedź :
Prawdopodobieństwo warunkowe.
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B:
[tex]\boxed{\bold{P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}}}[/tex]
A - zdarzenie, że co najmniej dwa razy wypadło po 5 oczek
B - zdarzenie, że co najmniej dwa razy wypadło po 6 oczek
A∩B - zdarzenie, że co najmniej dwa razy wypadło po 5 oczek i najmniej dwa razy wypadło po 5 oczek.
Wszystkich możliwych wyników w pięciu rzutach kostką mamy:
[tex]\bold{\overline{\overline \Omega}=6\cdot6\cdot6\cdot6\cdot6=6^5}[/tex]
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A∩B:
Do ustalenia liczności zbioru A∩B najwygodniej będzie skorzystać z kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego:
[tex]\bold{C^k_n=\left(\big n\atop\big k\right)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}}[/tex]
Skoro co najmniej po dwa razy mamy 5 i 6, to znaczy, że mamy trzy opcje:
- 1° - dwie piątki, dwie szóstki i jedna liczba od 1 do 4
- 2° - dwie piątki i trzy szóstki
- 3° - trzy piątki i dwie szóstki
1° Rozmieszczamy dwie piątki w pięciu rzutach, potem dwie trójki w pozostałych trzech rzutach, w ostatnim mamy 1 z czterech pozostałych liczb, czyli: [tex]\bold{C^2_5\cdot C^2_3\cdot4}[/tex]
2° Rozmieszczamy dwie piątki w pięciu rzutach, potem trzy trójki w pozostałych trzech rzutach, czyli: [tex]\bold{C^2_5\cdot C^3_3}[/tex]
3° Rozmieszczamy trzy piątki w pięciu rzutach, potem dwie trójki w pozostałych dwóch rzutach, czyli: [tex]\bold{C^3_5\cdot C^2_2}[/tex]
Stąd:
[tex]\bold{\overline{\overline {A\cap B}}=\left(\big 5\atop\big 2\right)\left(\big 3\atop\big 2\right)\cdot4+\left(\big 5\atop\big 2\right)\left(\big 3\atop\big 3\right)+\left(\big 5\atop\big 3\right)\left(\big 2\atop\big 2\right)=} \\\\{}\qquad\quad\bold{=\dfrac{5!}{2!\cdot{\not}3!}\cdot\dfrac{{\not}3!}{2!\cdot1!}\cdot4+\dfrac{5!}{2!\cdot3!}\cdot1+\dfrac{5!}{3!\cdot2!}\cdot1=}[/tex]
[tex]\bold{=\dfrac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot{\not}2\cdot1}\cdot\dfrac{1}{1\cdot{\not}2\cdot1}\cdot{\not}4\big\,^{{\not}2^{\big\,1}} +\dfrac{{\not}3!\cdot{\not}4\big\,^2\cdot5}{1\cdot{\not}2\cdot{\not}3!}+ \dfrac{{\not}3!\cdot{\not}4\big\,^2\cdot5}{{\not}3!\cdot1\cdot{\not}2}=}\\\\\bold{=120+10+10=140}[/tex]
Zatem:
[tex]\boxed{\bold{P(A\cap B)=\dfrac{140}{6^5}}}[/tex]
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:
Tu najłatwiej będzie skorzystać z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego: [tex]\bold{P(B')=1-P(B)\quad \implies\quad P(B)=1-P(B')}[/tex]
B' - zdarzenie, że ścianka z sześcioma oczkami wypadła najwyżej raz.
Tutaj mamy dwie opcje:
- 1° ścianka z sześcioma oczkami wypadła dokładnie raz
- 2° ścianka z sześcioma oczkami nie wypadła wcale
1° szóstka wypadła w jednym z pięciu rzutów, a w pozostałych rzutach wypadły dowolne liczby oczek od 1 do 5: 5·(5·5·5·5)
2° W każdym z pięciu rzutów wypadły tylko liczby od 1 do 5: 5·5·5·5·5
Czyli:
[tex]\bold{\overline{\overline{B'}}=5\cdot5^4+5^5=2\cdot5^5}[/tex]
stąd: [tex]\bold{P(B')=\dfrac{2\cdot5^5}{6^5}}[/tex]
Zatem:
[tex]\boxed{\bold{P(B)=1-\dfrac{2\cdot5^5}{6^5}=\dfrac{6^5-2\cdot5^5}{6^5}}}[/tex]
Ostatecznie:
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu co najmniej dwa razy ścianki z pięcioma oczkami, jeżeli wiadomo, że ścianka z sześcioma oczkami również wypadła co najmniej dwa razy wynosi:
[tex]\bold{P(A|B)=\dfrac{\dfrac{140}{6^5}}{\dfrac{6^5-2\cdot5^5}{6^5}}=\dfrac{140}{6^5-2\cdot5^5}=\dfrac{140}{7776-2\cdot3125}=\dfrac{140}{1526}}\\\\\\\large\boxed{\bold{P(A|B)=\dfrac{10}{109}}}[/tex]