Rysunek pomocniczy w załączniku.
Pole przekroju płaszczyzną przecinająca ostrosłup prawidłowy i zawierająca krawędź jego podstawy (a) jest trójkątem równoramiennym.
Jeśli wysokość tego trójkąta oznaczymy jako k, a wysokość podstawy jako [tex]h_p[/tex] to stosunek pola powierzchni przekroju (P) do pola podstawy ostrosłupa [tex](P_p)[/tex], wyniesie:
[tex]\bold{\dfrac P{\,P_p}=\dfrac {\frac12ak}{\frac12ah_p}=\dfrac {k}{h_p}}[/tex]
Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, czyli trzeci kąt trójkąta ma miarę:
180° - (α + β)
Stąd jego sinus;:
[tex]\bold{\sin[180^o-(\alpha+\beta)]=sin(\alpha+\beta)}[/tex]
Twierdzenie sinusów
mówi, że stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta przeciwległego temu bokowi jest stały.
Zatem:
[tex]\bold{\dfrac{x}{\sin\beta}=\dfrac{h_p}{\sin(\alpha+\beta)}}\\\\\bold{x\sin(\alpha+\beta)}=h_p\sin\beta}\\\\\bold{\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{h_p\sin\beta}x}[/tex]
Z warunku zadania mamy:
[tex]\bold{4\sin{\beta}=3\sin(\alpha+\beta)}\\\\\bold{4\sin{\beta}=3\cdot\dfrac{h_p\sin\beta}x\qquad/:\sin\beta}\\\\\bold{4=3\cdot\dfrac{h_p}x\qquad/\cdot x}\\\\\bold{4x=3h_p\qquad/:(4h_p)}\\\\\bold{\dfrac x{h_p}=\dfrac34}[/tex]
Odp.:
Stosunek pola powierzchni przekroju ostrosłupa do pola jego podstawy wynosi [tex]\bold{\dfrac34}[/tex]
