Rozwiązane

Ostrosłup rozcięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy na dwie bryły, przy czym jedna z nich ma o 12 krawędzi więcej od drugiej. Ile wierzchołków miał ostrosłup przed rozcięciem?.

Odpowiedź :

Przed rozcięciem ostrosłup miał 13 wierzchołków.

Ilość krawędzi i wierzchołków w graniastosłupie i ostrosłupie

Jeśli w podstawie graniastosłupa mamy wielokąt o n krawędziach, to ten graniastosłup ma:

  • [tex]3n[/tex] krawędzi;
  • [tex]2n[/tex] wierzchołków.

Jeśli w podstawie ostrosłupa mamy wielokąt o n krawędziach, to ten ostrosłup ma:

  • [tex]2n[/tex] krawędzi;
  • [tex]n+1[/tex] wierzchołków.

Mamy pewien ostrosłup. Oznaczmy jako n ilość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Po przecięciu tego ostrosłupa płaszczyzną równoległą do podstawy ostrosłupa dostajemy dwie bryły. Bryła, która jest "na dole" ma 2n krawędzi w podstawach i n krawędzi bocznych, czyli wszystkich krawędzi ma 3n.

Bryła, która powstała "na górze" tego ostrosłupa to również ostrosłup, który ma n krawędzi w podstawie, zatem wszystkich krawędzi ma 2n.

Zgodnie z danymi podanymi w treści, możemy zapisać równość:

[tex]3n=2n+12/-2n\\n=12[/tex]

Dostaliśmy, że wyjściowy ostrosłup miał 12 krawędzi w podstawie, czyli wszystkich wierzchołków ma 12+1=13.

#SPJ4

Viz Inne Pytanie