Odpowiedź :
Objętość graniastosłupa pochylonego o podstawie z sześciokąta foremnego o boku 5 oraz krawędzi bocznej 13, gdzie wysokość opuszczona jest z jednego z wierzchołków górnej podstawy pada w punkcie przecięcia dłuższych przekątnych dolnej podstawy, wynosi:
[tex]Obj=450\sqrt{3}[j^3][/tex]
Wzór na objętość graniastosłupa
Wzór na objętość dowolnego graniastosłupa to:
[tex]Obj=Pp*H[/tex]
gdzie,
Pp - pole podstawy
H - wysokość
Pole sześciokąta foremnego
Wiemy, że do obliczenia objętości potrzebne nam jest pole powierzchni podstawy. W tym przypadku jest to sześciokąt foremny. Podstawową własnością sześciokąta foremnego jest to, że długość jego boku jest równa odległości jego wierzchołka od środka (punktu przecięcia dłuższych przekątnych). Sześciokąt taki składa się zatem z 6 takich samych trójkątów równobocznych, o boku równym bokowi tego sześciokąta. Pole trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:
[tex]P=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}[/tex]
gdzie a to bok tego trójkąta.
Pole sześciokąta foremnego jest zatem sześć razy większe:
[tex]P=6*\frac{a^2\sqrt{3} }{4} =\frac{3a^2\sqrt{3} }{2}[/tex]
Wiemy, że sześciokąt ma bok równy 5, więc obliczamy jego pole:
[tex]P=\frac{3a^2\sqrt{3} }{2}=\frac{3*5^2\sqrt{3} }{2}=\frac{75\sqrt{3} }{2}[j^2][/tex]
Wysokość graniastosłupa
Wiemy, że wysokość tego graniastosłupa opuszczona jest z wierzchołka górnej podstawy na punkt przecięcia dłuższych przekątnych sześciokąta. Punkt przecięcia dłuższych przekątnych sześciokąta to inaczej środek tego sześciokąta. Aby obliczyć wysokość graniastosłupa, rozważmy trójkąt stworzony przez wysokość, krawędź boczną oraz odcinek łączący środek sześciokąta z jego wierzchołkiem (rys. w załączniku).
Widzimy, że jest to trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna jest tu krawędzią boczną, czyli ma długość 13. Jedną z przyprostokątnych jest wysokość graniastosłupa, a drugą odcinek łączący środek sześciokąta z jego wierzchołkiem. Jak to zostało wspomniane wcześniej, w sześciokącie foremnym odcinek ten jest równy długości boku tego sześciokąta. Możemy zatem obliczyć wysokość z tw. pitagorasa:
[tex]a^2+b^2=c^2\\5^2+H^2=13^2\\H^2=169-25\\H^2=144\\H=\sqrt{144}=12[j][/tex]
Objętość graniastosłupa
Jeśli mamy już obliczone pole podstawy i wysokość możemy obliczyć objętość graniastosłupa zgodnie ze wzorem:
[tex]Obj=Pp*H\\Obj=\frac{75\sqrt{3} }{2} *12\\Obj=75\sqrt{3}*6=450\sqrt{3}[j^3][/tex]
Wniosek: Graniastosłup ma objętość [tex]450\sqrt{3}[j^3][/tex].
