a)x∈<-2;[tex]-\frac{4}{3}[/tex]>
b) x∈(-∞;-1)U(2;∞)
c) x∈([tex]\frac{1}{10} ;\frac{3}{10}[/tex])
d)x∈(-∞;[tex]\frac{53}{8}[/tex]>U<[tex]\frac{59}{8}[/tex];∞;)
Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy symbolem |x|.
Wartość bezwzględna z liczby dodatniej, to ta sama liczba dodatnia.
|x|=|x|
Natomiast wartość bezwzględna z liczby ujemnej to liczba dodatnia.
|-x|=x
Jeśli mamy mp. |x-a|<b, wówczas rozważamy dwie opcje
1. opcja - wartość bezwzględna jest dodatnia, czyli mamy
x-a<b
2. opcja - wartość bezwzględna jest ujemne, czyli mamy
-(x-a)<b
Pamiętaj, że minus przed nawiasem zmienia znak, więc
-x+a<b
Następnie, w obu przypadkach, rozwiązujemy nierówność i na końcu rysujemy rozwiązania nierówności na wykresie, z którego odczytujemy przedziały spełniające nierówność.
Ważne
→Dzielenie licz przez -1 zmienia znak na przeciwny np.
-3x<6 /:(-1)
3x>-6
→znak ⩽ lub ≥, (tzw. przedział zamknięty) oznacza większy/mniejszy bądź równy. Wówczas zapisujemy przedział przy pomocy nawiasów ostrych "<...>".
→znak < lub > ,(tzw. przedział otwarty) oznacza większy/mniejszy. Wówczas zapisujemy przedział używając zwykłych nawiasów (...)
A) I 3x + 5 I ⩽ 1
3x+5⩽ 1 /-5
3x⩽ -4 /:3
x⩽ [tex]-\frac{4}{3}[/tex]
-(3x+5)⩽ 1
-3x-5⩽1 /+5
-3x⩽6 /:(-1)
3x⩾-6
x⩾-2
Wyszło nam, że x⩾-2 i x⩽ [tex]-\frac{4}{3}[/tex]. Narysujmy to:
załącznik 1
Wniosek: x∈<-2;[tex]-\frac{4}{3}[/tex]>
b) I 2 - 4x I > 6
2-4x>6 /-2
-4x>4 /:(-1)
4x<4 /:4
x<1
-(2-4x)>6
-2+4x>6 /+2
4x>8 /:4
x>2
Wyszło nam, że x<1 i x>2. Narysujmy to
załącznik 2
Wniosek: x∈(-∞;-1)U(2;∞)
c) 2 I 5x - 1 I + 3 I 10x - 2 I <4
W takich przypadkach musimy zacząć od wyznaczanie przedziałów w jakich będziemy tą nierówność rozwiązywali. Aby wyznaczyć punkty przedziału, przyrównujemy wyrażenia, znajdujące się w wartości bezwzględnej.
5x-1=0 /+1 10x-2=0 /+2
5x=1 /:5 10x=2 /:10
x=[tex]\frac{1}{5}[/tex]=0,2 x=[tex]\frac{2}{10}=0,2[/tex]
Dzielimy oś liczbową na przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy nierówność
Oba wyrażenia przyjmują wartości ujemne, dlatego opuszczając wartość bezwzględną, zmieniamy znak tych wyrażeń na przeciwny.
2(-5x+1)+3(-10x+2)<4
Teraz wymnażamy nawiasy, czyli 2x(-5x); 2x1; 3x(-10x); 3x2
-10x+2-30x+6<4
Następnie x dodajemy do x, liczby do liczb
-40x+8<4 /-8
-40x<-4 /:(-1)
40x>4 /:40
x>[tex]\frac{4}{40}=\frac{1}{10}[/tex]
Oba wyrażenia przyjmują wartości dodatnie, więc
2(5x-1)+3(10x-2)<4
Teraz wymnażamy nawiasy, czyli 2x5x; 2x(-1); 3x10x; 3x(-2)
10x-2+30x-6<4
Następnie x dodajemy do x, liczby do liczb
40x-8<4 /+8
40x<12
x<[tex]\frac{12}{40}=\frac{3}{10}[/tex] (podzieliliśmy przez 4)
Wyszło nam, że x<[tex]\frac{3}{10}[/tex] i x>[tex]\frac{1}{10}[/tex]. Narysujmy to
załącznik 3
Wniosek: x∈([tex]\frac{1}{10} ;\frac{3}{10}[/tex])
d) 5 I x - 7 I + I 3x - 21 I ⩾ 3.
x-7=0 /+7 3x-21=0 /+21
x=7 3x=21 /:3
x=7
Oba wyrażenia przyjmują wartości ujemne, dlatego opuszczając wartość bezwzględną, zmieniamy znak tych wyrażeń na przeciwny.
5(-x+7)+(-3x+21) ⩾3
-5x+35-3x+21 ⩾3
-8x+56 ⩾3 /-56
-8x ⩾-53 /:(-1)
8x⩽53 /:8
x⩽[tex]\frac{53}{8}[/tex]
Oba wyrażenia przyjmują wartości dodatnie, więc
5(x-7)+(3x-21)⩾3
5x-35+3x-21⩾3
8x-56⩾3 /+53
8x⩾59
x⩾[tex]\frac{59}{8}[/tex]
Wyszło nam ,że [tex]x\leq \frac{53}{8}[/tex] i [tex]x\geq \frac{59}{8}[/tex]. Narysujmy to
załącznik 4
Wniosek: x∈(-∞;[tex]\frac{53}{8}[/tex]>U<[tex]\frac{59}{8}[/tex];∞;)
