Odpowiedź :
Prawdopodobieństwo, że w skład 4-osobowej delegacji wejdzie co najmniej jeden mężczyzna jest równe:
[tex]P(A)=\frac{89}{91}[/tex]
Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta będzie waletem lub kartą koloru czerwonego jest równe:
[tex]P(A)=\frac{29}{52}[/tex]
Prawdopodobieństwo
Mówiąc potocznie, określa ono jaka jest szansa, że wydarzy się jakieś zdarzenie. Prawdopodobieństwo określane jest zawsze ułamkiem z przedziału <0,1>, gdzie 0 oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe, a 1 że zdarzenie na pewno się wydarzy.
Obliczenie prawdopodobieństwa jakiegoś zdarzenia A, polega na określeniu liczby zdarzeń sprzyjających |A| oraz liczby wszystkich możliwych zdarzeń |Ω| oraz skorzystaniu ze wzoru:
[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}[/tex]
Delegacja
Najpierw obliczmy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń |Ω|. Zadanie polega na wybraniu spośród 5 kobiet i 10 mężczyzn 4-osobowej delegacji, wybieramy zatem 4 osoby z 15-osobowej grupy. Naturalnym jest, że osoby nie mogą się powtarzać. Wybierając więc pierwszą osobę mamy 15 możliwości:
15*_*_
Wybierając drugą osobę mamy już tylko 14 do wyboru:
15*14*_
A trzecią pozostaje 13 do wyboru:
15*14*13
Mnożymy wszystkie możliwości i otrzymujemy liczbę wszystkich możliwych wyborów, czyli |Ω|:
|Ω|=15*14*13=2730
Teraz należałoby policzyć liczbę zdarzeń sprzyjających, jednak w tym przypadku łatwiej będzie policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Zdarzeniem przeciwnym w naszym przypadku będzie nie wybranie ani jednego mężczyzny do delegacji. Liczba zdarzeń sprzyjających jest równa wtedy:
|A'|=5*4*3=60
Ponieważ możemy wybrać tylko kobiety, a jest ich 5, więc najpierw mamy do wyboru 5 potem 4 i na końcu 3 co razem daje liczbę możliwych wyborów spośród kobiet.
Obliczamy więc prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
[tex]P(A')=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{60}{2730} =\frac{2}{91}[/tex]
Korzystając z własności prawdopodobieństwa dla zdarzenia przeciwnego, obliczamy:
[tex]P(A)=1-P(A')=1-\frac{2}{91}=\frac{89}{91}[/tex]
Czyli prawdopodobieństwo zdarzenia, że w skład delegacji wejdzie co najmniej jeden mężczyzna wynosi 89/91.
Losowanie karty
Tu również zaczniemy od obliczenia liczby wszystkich możliwych zdarzeń |Ω|. Losujemy tylko jedną kartę spośród 52 w talii zatem liczba możliwych losowań jest prosta, ponieważ wynosi po prostu:
|Ω|=52
Teraz liczymy liczbę zdarzeń sprzyjających. Jest to wylosowanie karty będącej waletem lub karty koloru czerwonego. Walety są w tali dokładnie 4, a karty czerwone stanowią połowę talii, czyli 26 kart. Jednak jedna z kart czerwonych jest także waletem, więc aby nie liczyć podwójnie czerwonego waleta musimy odjąć jeden:
|A|=4+26-1=29
Obliczamy prawdopodobieństwo ze wzoru:
[tex]P(A)=\frac{29}{52}[/tex]
Zatem prawdopodobieństwo, że wylosujemy waleta lub kartę koloru czerwonego wynosi 29/52.