prosta AB: f(x) = -2
prosta AC: f(x) = x + 5
prosta BC: [tex]f(x)=\frac12+2[/tex]
Trójkąt ABC nie jest prostokątny.
Rysunek trójkąta znajduje się w załączniku.
Aby obliczyć wzór funkcji liniowej, należy oba punkty podstawić do wzoru
y = ax + b. W ten sposób uzyskamy dwa równania, z których należy wyliczyć współczynniki a oraz b.
Prosta przechodząca przez punkt A i B:
A (-7,-2), B (8, -2)
1. Podstawiamy za x oraz y współrzędne tych dwóch punktów:
-2 = -7a + b
-2 = 8a + b
2. Oba równania mają nam dać wynik -2, więc możemy je ze sobą zrównać:
-7a + b = 8a + b |-b
-7a=8a |-8a
-15a = 0
a = 0
3. Wiedząc, że a = 0, podstawmy w miejsce a liczbę 0 do pierwszego równania:
-2 = -7a + b
-2 = -7 × 0 + b
b = -2
Podstawmy wyliczone wartości a i b do wzoru ogólnego funkcji liniowej:
y = ax + b
y = 0x - 2
y = -2
Prosta przechodząca przez punkt A i C:
A (-7,-2), C(-2, 3)
-2 = -7a + b
3 = -2a + b
Zastosujmy tu metodę przeciwnych współczynników. Musimy pomnożyć pierwsze równanie przez (-1), aby otrzymać ujemny współczynnik b, który potem po dodaniu równań stronami nam się skróci:
-2 = -7a + b | ×(-1)
3 = -2a + b
2 = 7a - b
3 = -2a + b
Dodajemy oba równania stronami:
5 = 5a
a = 1
Wyliczmy współczynnik b, wiedząc że a = 1:
-2 = -7a + b
-2 = -7 × 1 + b
-2 = -7 + b
b = 5
Podstawmy wyliczone wartości a i b do wzoru ogólnego funkcji liniowej:
y = ax + b
y = 1x + 5
y = x + 5
Prosta przechodząca przez punkt B i C:
B (8,-2), C(-2, 3)
-2 = 8a + b
3 = -2a + b
Zastosujmy tu metodę przeciwnych współczynników. Musimy pomnożyć pierwsze równanie przez (-1), aby otrzymać ujemny współczynnik b, który potem po dodaniu równań stronami nam się skróci:
-2 = 8a + b |×(-1)
3 = -2a + b
2 = -8a - b
3 = -2a + b
Dodajemy oba równania stronami:
5 = -10a
[tex]a=-\frac12[/tex]
Wyliczmy współczynnik b, wiedząc że [tex]a=-\frac12[/tex]:
[tex]-2 = 8a + b\\-2 = 8*(-\frac12)+b\\-2=-4+b\\b=2[/tex]
Podstawmy wyliczone wartości a i b do wzoru ogólnego funkcji liniowej:
[tex]y = ax + b\\y=-\frac12x+2[/tex]
Aby sprawdzić czy trójkąt jest prostokątny, musimy sprawdzić czy proste AC i CB przecinają się pod kątem prostym (zobacz rysunek). Musimy zatem porównać współczynniki stojące przy "x". Aby proste przecinały się pod kątem prostym musi zachodzić równość:
[tex]a_{1} *a_{2} =-1[/tex]
gdzie:
[tex]a_{1}[/tex] - wartość stojąca przy "x" w pierwszym równaniu prostej
[tex]a_{2}[/tex] - wartość stojąca przy "x" w drugim równaniu prostej
Mamy proste:
AC:
y = x + 5
BC:
[tex]y=-\frac12x+2[/tex]
Podstawmy wartości stojące przy "x" do wzoru na prostopadłość prostych:
[tex]a_{1} *a_{2} =-1\\-\frac{1}{2} *1=-1\\-\frac12\neq -1[/tex]
Równanie po podstawieniu jest równaniem sprzecznym, a więc trójkąt ABC nie jest prostokątny.
