Odpowiedź :
Objętość jest równa [tex]\frac{32}{3}\sqrt{39}[/tex]
Obliczanie objętości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny.
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego można obliczyć ze wzoru:
[tex]V = \frac{1}{3} * Pp * H[/tex]
Gdzie:
Pp = pole podstawy ostrosłupa
H = wysokość ostrosłupa
[tex]V = \frac{1}{3} * \frac{a^{2}\sqrt{3} }{4} * H[/tex]
a jest długością krawędzi podstawy
[tex]V = \frac{1}{3} * \frac{8^{2}\sqrt{3} }{4} * H[/tex] = [tex]\frac{1}{3} * \frac{64\sqrt{3} }{4} * H = \frac{1}{3} * 16\sqrt{3} * H[/tex]
Wysokość ostrosłupa możemy obliczyć ze wzoru Pitagorasa, gdzie wysokość ostrosłupa jest jedną przyprostokątną, drugą przyprostokątną jest [tex]\frac{1}{3}[/tex] wysokości podstawy, a przeciwprostokątną jest krawędź boczna ostrosłupa.
Długość boku podstawy jest równa 8.
Obliczmy wysokość podstawy ostrosłupa.
h = [tex]\frac{a\sqrt{3} }{2}[/tex]
h = [tex]\frac{8\sqrt{3} }{2} = 4\sqrt{3}[/tex]
Obliczamy wysokość całego ostrosłupa:
[tex]H^{2} + (4\sqrt{3}) ^{2} = 10^{2}[/tex]
[tex]H^{2} + 48 = 100[/tex]
[tex]H^{2}[/tex] = 52
H = [tex]\sqrt{52}[/tex] = 2[tex]\sqrt{13}[/tex]
Obliczamy objętość ostrosłupa:
[tex]V = \frac{1}{3} * 16\sqrt{3} }* H[/tex]
[tex]V = \frac{1}{3} * 16\sqrt{3} } * 2\sqrt{13}[/tex] = [tex]\frac{1}{3} * 32 * \sqrt{3*13} = \frac{32}{3}\sqrt{39}[/tex]