Odpowiedź :
Dowolny wielokąt wypukły może mieć co najwyżej 3 kąty ostre.
Wielokąt wypukły
Najpierw zdefiniujemy sobie, czym jest wielokąt wypukły. Jest to taka figura płaska, w której wszystkie kąty wewnętrzne są mniejsze lub równe 180 stopni.
Suma kątów w wielokącie
Teraz zastanówmy, się jaka jest suma kątów w takim wielokącie. Wyraża się ona wzorem:
[tex](n-2)*180[/tex]
gdzie 'n' oznacza liczbę boków, a więc i kątów wielokąta.
Rozważmy więc przypadek graniczny, kiedy to mamy wszystkie kąty po 90 stopni. Zatem dodajmy je do siebie:
[tex]n*90 = (n-2)*180\\90n = 180n-360\\90n=360\\n=4[/tex]
Po przemożeniu i przeniesieniu dochodzimy do wniosku, że n = 4, ale nasz kąt przecież był prosty, a my rozważamy zadanie dla kątów ostrych.
Musimy więc zmienić znak "równa się" na znak mniejszości, czyli n < 4. Biorąc pod uwagę, że n może być wyłącznie całkowite i dodatnie, to największą liczbą całkowitą mniejszą niż 4 jest 3. Zatem dowolny wielokąt wypukły może mieć maksymalnie 3 kąty ostre.