Odpowiedź :
Pole trójkąta ABC wynosi [tex]600cm^2[/tex].
Podobieństwo trójkątów
Trójkąty podobne to takie, w którym stosunki odpowiednich boków są sobie równe. Miary kątów odpowiadających sobie w trójkątach podobnych są sobie równe.
Jeśli w jednym trójkącie długość jednego boku oznaczymy jako [tex]a[/tex], a długość boku mu odpowiadającą w trójkącie podobnym do niego jako [tex]a_1[/tex], to skalę podobieństwa k możemy policzyć jako [tex]k=\frac{a}{a_1}[/tex] lub [tex]k=\frac{a_1}{a}[/tex].
Mamy następujące cechy podobieństwa trójkątów:
- cecha bok-bok-bok - stosunki długości odpowiednich boków są sobie równe;
- cecha bok-kąt-bok - stosunki długości dwóch par odpowiadających sobie boków są sobie równe i kąty między nimi mają takie same miary;
- cecha kąt-kąt-kąt - miary odpowiadających sobie kątów w obu trójkątach są równe.
Mamy trójkąt prostokątny ABC, gdzie wysokość CD podzieliła przeciwprostokątną AB na odcinki długości 18cm i 32cm ([tex]|AB|=18+32=50cm[/tex]). Zatem w trójkącie ABC kąt prosty jest przy wierzchołku C. Kąt przy wierzchołku A oznaczmy jako [tex]\alpha[/tex], a kąt przy wierzchołku B jako [tex]\beta[/tex]. Są to kąty wspólne również dla trójkątów BCD i CAD. Ponadto kąty BDC i CDA mają miarę [tex]90^o[/tex]. Kąt BCD ma zatem miarę [tex]\alpha[/tex] (ponieważ pozostałe kąty w tym trójkącie mają miary [tex]90^o[/tex] i [tex]\beta[/tex], a w trójkącie ABC mamy [tex]180^o=90^o+\alpha+\beta[/tex]). Z tego samego faktu dostajemy, że miara kąta ACD wynosi [tex]\beta[/tex].
Trójkąty ABC, CAD oraz CDB mają kąty o tej samej mierze, zatem z cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt trójkąty te są podobne.
Skalę podobieństwa trójkątów CDB i ABC możemy zapisać następująco:
[tex]k=\frac{|BC|}{|AB|} \quad \text{lub} \quad k=\frac{|BD|}{|BC|}[/tex].
Podstawmy odpowiednie długości boków.
[tex]k=\frac{a}{50} \quad \text{lub} \quad k=\frac{18}{a}[/tex].
Przyrównamy obie skale podobieństwa do siebie. Dostaniemy równanie, z którego wyliczymy a:
[tex]\frac{a}{50}=\frac{18}{a}/*a\\\frac{a^2}{50}=18/*50\\a^2=900/\sqrt{}\\a=30cm[/tex]
Skalę podobieństwa trójkątów CAD i ABC możemy zapisać następująco:
[tex]k_1=\frac{|AC|}{|AB|} \quad \text{lub} \quad k_1=\frac{|AD|}{|AC|}[/tex].
Podobnie podstawimy do tych równości odpowiednie długości boków i wyznaczymy długość boku b:
[tex]k_1=\frac{b}{50} \quad \text{lub} \quad k_1=\frac{32}{b}\\\frac{b}{50}=\frac{32}{b}/*b\\\frac{b^2}{50}=32/*50\\b^2=1600/\sqrt{}\\b=40cm[/tex]
Pole trójkąta ABC policzymy następująco:
[tex]P_{ABC}=\frac12*a*b=\frac12*30*40=\frac11*30*20=60cm^2[/tex].
Rysunek wraz z oznaczeniami w załączniku.
