Współrzędne wierzchołka D: (-12, 3)
Pole równoległoboku: 76 j².
Aby wyznaczyć współrzędne czwartego wierzchołka równoległoboku, posłużymy się wektorem. Zauważmy na rysunku, że aby z punktu B "dostać się" do punktu C należy z punktu B przesunąć się o 8 jednostek w lewo oraz 6 w górę. nasz wektor ma więc współrzędne V = [-8, 6]. Aby otrzymać punkt D, należy z punktu A (-4, -3) przesunąć się o dokładnie te same wartości.
punkt A (-4, -3) przesuwamy o wektor [-8, 6]
punkt D (-4 - 8, -3 + 6)
punkt D (-12, 3)
Aby obliczyć pole równoległoboku, potrzebne nam będą: długość wysokości oraz długość podstawy.
Aby obliczyć długość podstawy posłużymy się wzorem na długość odcinka w układzie współrzędnych.
Długość odcinka o końcach w punktach[tex]A(x_{1},y_{1})[/tex] oraz [tex]B(x_{2},y_{2})[/tex]wyraża się wzorem:
[tex]|AB| = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2[/tex]
Podstawmy punktu A (-4, -3) oraz B(6, -1) do wzoru:
[tex]|AB| = \sqrt{(6-(-4))^2+(-1-(-3))^2[/tex]
[tex]|AB| = \sqrt{(6+4)^2+(-1+3)^2[/tex]
[tex]|AB| = \sqrt{10^2+2^2\\[/tex]
[tex]|AB|=\sqrt{104}[/tex]
[tex]|AB|=2\sqrt{26}[/tex]
Aby obliczyć wysokość skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej. Aby to zrobić, musimy wyznaczyć wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty C i D.
Podstawiamy oba punkty do równania ogólnego prostej : y = ax + b, i formułujemy układ dwóch równań. Za x i y wstawiamy współrzędne punktów C(-2,5) i D(-12, 3):
5 = -2a + b
3 = -12a + b
Wyznaczamy a metodą przeciwnych współczynników. Przemnóżmy jedno równanie przez (-1) aby uzyskać przeciwne współczynniki przy b:
5 = -2a + b | ×(-1)
3 = -12a + b
-5 = 2a - b
3 = -12a + b
Następnie dodajemy równanie stronami:
-5 + 3 = 2a - b + (-12a + b)
-2 = 2a - b - 12 a + b
-2 = -10a
[tex]a=\frac15[/tex]
Znając a wyliczmy współczynnik b:
5 = -2a + b
[tex]5=-2*\frac15+b\\5=-\frac25+b\\b=5\frac25[/tex]
Prosta przechodząca przez punkty C i D:
[tex]y=\frac15x+5\frac25[/tex]
Wzór na odległość punktu od prostej:
[tex]d=\frac{|A*x_0+B*y_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex],
gdzie:
A - wartość stojąca przy x
B - wartość stojąca przy y
C- wyraz wolny
Aby podstawić dane do tego wzoru musimy przekształcić naszą funkcję z postaci kierunkowej do postaci ogólnej. Aby to zrobić po jednej ze stron równania musi znaleźć się 0:
[tex]y=\frac15x+5\frac25\\y-\frac15x-5\frac25=0\\5y-x-27=0[/tex]
Wypiszmy współczynniki:
A = -1
B = 5
C = -27
Podstawmy do wzoru dane współczynniki i punkt A(-4 -3):
[tex]d=\frac{|A*x_0+B*y_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\\\d= \frac{|-1*(-4)+5*(-3)-27|}{\sqrt{(-1)^2+5^2} } \\\\d= \frac{|4-15-27|}{\sqrt{(1+25} }\\\\d=\frac{|-38|}{\sqrt{(26} }\\\\d=\frac{38\sqrt{26} }{26} \\\\d=\frac{19\sqrt{26} }{13}[/tex]
Wysokość równoległoboku wynosi [tex]\frac{19\sqrt{26} }{13}[/tex].
Wzór na pole równoległoboku to:
P = a × h
[tex]P=2\sqrt{26}* \frac{19\sqrt{26} }{13}\\P=\frac{38*26}{13} = 76[/tex]
Pole tego równoległoboku to 76 j².
