Temat: Rozwiązywanie równań kwadratowych
[tex]\huge\boxed{a) \ \boxed{x_1=-9} \ \text{oraz} \ \boxed{x_2=-1}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{b) \ \boxed{x_1=6} \ \text{oraz} \ \boxed{x_2=-1}}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{c) \ \boxed{x\in\O}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{d) \ \boxed{x_0=1}}[/tex]
Etapy rozwiązywania równań kwadratowych danych w postaci ogólnej y = ax² + bx + c (gdzie a ≠ 0):
Ilość rozwiązań równania w zależności od wartości wyróżnika:
Potrzebne wzory przy rozwiązywaniu równań:
[tex]\Delta=b^2-4ac\\\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \ \text{oraz} \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{gdy} \ \Delta > 0)\\\\x_0=\frac{-b}{2a} \ (\text{gdy} \ \Delta=0)[/tex]
a)
[tex]x^2+10x+9=0\\\\a=1, \ b=10, \ c=9\\\\\Delta=10^2-4\cdot1\cdot9=100-36=64\\\\x_1=\frac{-10-\sqrt{64}}{2\cdot1}=\frac{-10-8}{2}=\frac{-18}{2}=-9\\\\x_2=\frac{-10+\sqrt{64}}{2\cdot1}=\frac{-10+8}{2}=\frac{-2}{2}=-1[/tex]
b)
[tex]-x^2+5x+6=0\\\\a=-1, \ b=5, \ c=6\\\\\Delta=5^2-4\cdot(-1)\cdot6=25+24=49\\\\x_1=\frac{-5-\sqrt{49}}{2\cdot(-1)}=\frac{-5-7}{-2}=\frac{-12}{-2}=6\\\\x_2=\frac{-5+\sqrt{49}}{2\cdot(-1)}=\frac{-5+7}{-2}=\frac{2}{-2}=-1[/tex]
c)
[tex]-4x^2-2x-5=0\\\\a=-4, \ b=-2, \ c=-5\\\\\Delta=(-2)^2-4\cdot(-4)\cdot(-5)=4-80=-76\\\\\Delta < 0\longrightarrow x\in\O[/tex]
Brak rozwiązań.
d)
Tu zacznę od podzielenia obustronnie przez 3, bo czemu by sobie nie ułatwić obliczeń :)
[tex]3x^2-6x+3=0 \ \ |:3\\\\x^2-2x+1=0\\\\a=1, \ b=-2, \ c=1\\\\\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0\\\\x_0=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1[/tex]
Odpowiedź:
a) [tex]x^2 + 10 x + 9 = 0[/tex]
Δ = 10² - 4*1*9 = 100 - 36 = 64 √Δ = 8
x = [tex]\frac{- 10 - 8}{2*1} = - 9[/tex] lub x = [tex]\frac{- 10 + 8}{2} = - 1[/tex]
--------------------------------------------------------------------
b) - x² + 5 x + 6 = 0
Δ = b² - 4 a*c = 5² - 4*(-1)*6 = 25 + 24 = 49 √Δ = 7
x = [tex]\frac{- 5 - 7}{2*(-1)} = 6[/tex] lub x = [tex]\frac{- 5 + 7}{- 2} = - 1[/tex]
--------------------------------------------------------------------------
c) - 4 x² -2 x - 5 = 0 / *( - 1)
4 x² +2 x + 5 = 0
Δ = 2² - 4*4*5 = 4 - 80 < 0 - brak rozwiązań
------------------------------------------------------------------------
d) 3 x² - 6 x + 3 = 0 / : 3
x² -2 x + 1 = 0
( x - 1 )² = 0
x - 1 = 0
x = 1
==============
Szczegółowe wyjaśnienie:
