Zad. 4.
Trapez to czworokąt, który ma parę boków równoległych.
Proste są równoległe, jeśli mają jednakowe współczynniki kierunkowe.
Zatem, aby wykazać, że czworokąt o podanych współrzędnych wierzchołków jest trapezem wystarczy wyznaczyć współczynniki kierunkowe prostych zawierających jego boki.
Wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty: [tex]\bold{a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}[/tex]
[tex]\bold{A(-5,\,2)\,,\ \ B(3,-4)\ \ \implies\ \ a_{AB}=\dfrac{-4-2}{3-(-5)}=\dfrac{-6}8=-\dfrac34} \\\\ \bold{B(3,-4)\,,\ \ C(5,\,1)\ \ \implies\ \ a_{BC}=\dfrac{1+4}{5-3}=\dfrac{5}{2}} \\\\ \bold{C(5,\,1)\,,\ \ D(1,\,4)\ \ \implies\ \ a_{CD}=\dfrac{4-1}{1-5}=\dfrac{3}{-4}=a_{AB}} \\\\\\ \bold{ a_{AB}= a_{CD}\quad\implies\quad AB\parallel CD}[/tex]
Boki AB i CD są równoległe, więc czworokąt ABCD jest trapezem.
Co należało wykazać.
Zad. 7.
Suma współczynników wielomianu W(x) to wartość tego wielomianu dla x = 1
Zatem suma współczynników wielomianu [tex]\bold{W(x)=\left(3x^7-2x^{16}\right)^{2014}}[/tex] to:
[tex]\bold{W(1)=\left(3\cdot1^7-2\cdot1^{16}\right)^{2014}=\left(3\cdot1-2\cdot1\right)^{2014}=\big1^{2014}=1}[/tex]
Zad. 8.
[tex]{}\quad\bold{(2x^4-3x^3\qquad\ \ +4x-6):(x^2+2x-3)=2x^2-7x+20}\\\underline{\bold{-(2x^4+4x^3-6x^2)}\qquad}\\{}\qquad\quad\ \bold{-7x^3+6x^2 +4x}\\{}\qquad\underline{\bold{-(-7x^3-14x^2 +21x)}\quad}\\{}\qquad\qquad\qquad\ \bold{20x^2-17x-6}\\{}\qquad\qquad\quad \underline{\bold{-(20x^2+40x-60)}\quad}\\{}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \bold{-57x+54}[/tex]
-57x+54 to reszta z dzielenia wielomianu 2x⁴-3x³+4x-6 przez wielomian x²+2x-3
Zatem:
[tex]\bold{(2x^4-3x^3+4x-6):(x^2+2x-3)=2x^2-7x+20+\frac{-57x+54}{x^2+2x-3}}[/tex]
lub:
[tex]\bold{(2x^4-3x^3+4x-6)=(x^2+2x-3)(2x^2-7x+20)+(-57x+54)}[/tex]
