Równanie z wartością bezwzględną.
Odp: [tex]\huge\boxed{x\in\left\{\dfrac{1}{3},\ 1,\ 5\right\}}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
[tex]||\sqrt{4+x^2+4x}|-|x-3||=x[/tex]
Określmy dziedzinę równania:
[tex]4+x^2+4x\geq0[/tex]
Możemy zauważyć, że lewa strona nierówności jest rozwinięciem wzoru skróconego mnożenia:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
[tex]x^2+4x+4\geq0\\\\x^2+2\cdot x\cdot2+2^2\geq0\\\\(x+2)^2\geq0[/tex]
Wiemy, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Stąd:
[tex]\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}[/tex]
W równaniu mamy przyrównanie wartości bezwzględnej do x.
Aby takie równanie miało rozwiązania, to x ≥ 0.
Zatem zakładamy, że
[tex]x\in\mathbb{R}^+\ \cup\ \{0\}[/tex]
Definicja wartości bezwzględnej:
[tex]|a|=\left\{\begin{array}{ccc}a&\text{dla}&\ a\geq0\\-a&\text{dla}&a < 0\end{array}\right[/tex]
Przechodzimy do rozwiązania:
[tex]\left|\left|\sqrt{(x+2)^2}\right|-|x-3|\right|=x[/tex]
Wiemy, że [tex]\sqrt{x^2}=|x|[/tex]. Stąd:
[tex]\left|\left||x+2|\right|-|x-3|\right|=x\iff||x+2||-|x-3|=x\ \vee\ ||x+2||-|x-3|=-x[/tex]
Jako, że założyliśmy, że x ≥ 0, to x + 2 > 0. Zatem |x + 2| = x + 2. Stąd mamy równania:
[tex]x+2-|x-3|=x\ \vee\ x+2-|x-3|=-x\\\\|x-3|=2\ \vee\ |x-3|=2x+2[/tex]
(1)
[tex]|x-3|=2\iff x-3=2\ \vee\ x-3=-2\qquad|+3\\\\\huge\boxed{x=5\ \vee\ x=1}[/tex]
Oba rozwiązania spełniają założenie.
(2)
[tex]|x-3|=2x+2\iff x-3=2x+2\ \vee\ x-3=-2x-2\\\\-x=5\ \vee\ 3x=1\\\\x=-5 < 0\ \vee\ \huge\boxed{x=\dfrac{1}{3}}[/tex]
Drugie rozwiązanie spełnia założenie.
