Dane są dwie liczby: x = [tex] \sqrt{2} [/tex]
- 1 oraz y = 1 + [tex] \sqrt{2} [/tex]
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Liczba x - y jest liczbą całkowitą: P/F
Liczba x * y jest liczbą naturalną: P/F

.

Liczby całkowite - to liczby naturalne , zero oraz ich ujemne odpowiedniki. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy literą Z lub C, [tex]\mathbb{ Z}=\{ ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}[/tex].
Liczby naturalne - to liczby całkowite, dodatnie wraz z zerem. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą [tex]\mathbb{ N}[/tex], [tex]\mathbb{ N} =\{ 0,1,2,3,...\}[/tex].

Korzystamy ze wzorów:

skróconego mnożenia: [tex](x+y) \cdot (x-y)=x^{2} -y^{2}[/tex]
[tex](\sqrt[n]{x} )^{n} =x^{n\cdot \frac{1}{n} } =x^{1} =x,~~zal.~x\geq 0[/tex]

Obliczamy:

[tex]I.\\\\x-y=?~~\land~~x=\sqrt{2} -1~~\land~~y=1+\sqrt{2} \\\\x-y=\sqrt{2} -1-( 1+\sqrt{2})=\sqrt{2} -1- 1-\sqrt{2}=-2\\\\x-y=-2~~\Rightarrow~~-2\in \mathbb{ Z}~~\Rightarrow~~Odp:\boxed{P}[/tex]

[tex]II.\\\\x\cdot y=?~~\land~~x=\sqrt{2} -1~~\land~~y=1+\sqrt{2} \\\\x\cdot y=(\sqrt{2} -1)\cdot ( 1+\sqrt{2})=\sqrt{2} +2-1-\sqrt{2} =1\\\\lub\\\\x\cdot y=(\sqrt{2} -1)\cdot ( \sqrt{2}+1)=(\sqrt{2} )^{2} -1^{2} =2-1=1\\\\x\cdot y=1~~\Rightarrow~~1\in \mathbb{ N}~~\Rightarrow~~Odp: \boxed{P}[/tex]