Temat: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
[tex]\huge\boxed{a) \ \boxed{y=(x-1)^2+2}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{b) \ \boxed{y=16(x+\frac{3}{4})^2-5}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{c) \ \boxed{y=9(x-\frac{1}{3})^2-10}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{d) \ \boxed{y=-3(x+4)^2+50}}[/tex]
W każdym z przykładów mamy podaną funkcję w postaci ogólnej y = ax² + bx + c (gdzie a ≠ 0). Każdą z podanych funkcji mamy przekształcić do postaci kanonicznej y = a(x - p)² + q. Co oznaczają literki p oraz q? Są to współrzędne wierzchołka funkcji. A oto wzory na nie:
[tex]p=\frac{-b}{2a}\\\\q=\frac{-\Delta}{4a} \ (\Delta=b^2-4ac)[/tex]
Kroki rozwiązania zadania:
⇒ przepisanie przykładu
⇒ wypisanie współczynników liczbowych funkcji danej w postaci ogólnej
⇒ obliczenie wyróżnika funkcji
⇒ podstawienie do wzoru i obliczenie współrzędnych wierzchołka
⇒ podstawienie obliczonych współrzędnych do wzoru na postać kanoniczną
a)
[tex]y=x^2-2x+3\\\\a=1, \ b=-2, \ c=3\\\\\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8\\\\p=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\\\\q=\frac{-(-8)}{4\cdot1}=\frac{8}{4}=2\\\\y=(x-1)^2+2[/tex]
b)
[tex]y=16x^2+24x+4\\\\a=16, \ b=24, \ c=4\\\\\Delta=24^2-4\cdot16\cdot4=576-256=320\\\\p=\frac{-24}{2\cdot16}=-\frac{24}{32}=-\frac{3}{4}\\\\q=\frac{-320}{4\cdot16}=-\frac{320}{64}=-5\\\\y=16(x-(-\frac{3}{4}))^2+(-5)\\\\y=16(x+\frac{3}{4})^2-5[/tex]
c)
[tex]y=9x^2-6x-9\\\\a=9, \ b=-6, \ c=-9\\\\\Delta=(-6)^2-4\cdot9\cdot(-9)=36+324=360\\\\p=\frac{-(-6)}{2\cdot9}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\\\\q=\frac{-360}{4\cdot9}=-\frac{360}{36}=-10\\\\y=9(x-\frac{1}{3})^2+(-10)\\\\y=9(x-\frac{1}{3})^2-10[/tex]
d)
[tex]y=-3x^2-24x+2\\\\a=-3, \ b=-24, \ c=2\\\\\Delta=(-24)^2-4\cdot(-3)\cdot2=576+24=600\\\\p=\frac{-(-24)}{2\cdot(-3)}=\frac{24}{-6}=-4\\\\q=\frac{-600}{4\cdot(-3)}=\frac{-600}{-12}=50\\\\y=-3(x-(-4))^2+50\\\\y=-3(x+4)^2+50[/tex]
