Odpowiedź :
Podane wyrażenie jest równe [tex]\frac{-x}{x-3}[/tex] przy założeniu, że [tex]x\in R\setminus \{-2,0,3\}[/tex].
Wykonujemy podane działania i zapisujemy odpowiednie założenia.
[tex]\frac{2x-1}{x^2+2x}-\frac{2x}{x-3}+\frac{x^3+7x-3}{x^3-x^2-6x}[/tex]
Zapisujemy mianowniki ułamków w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.
[tex]\frac{2x-1}{(x+2)x}-\frac{2x}{x-3}+\frac{x^3+7x-3}{x(x^2-x-6)}[/tex]
[tex]\frac{2x-1}{(x+2)x}-\frac{2x}{x-3}+\frac{x^3+7x-3}{x(x^2-3x+2x-6)}[/tex]
[tex]\frac{2x-1}{(x+2)x}-\frac{2x}{x-3}+\frac{x^3+7x-3}{x(x-3)(x+2)}[/tex]
Zapisujemy założenia dla powyższego wyrażenia: mianowniki ułamków nie mogą być równe zero, a więc:
- [tex]x(x+2)\neq0 \Longrightarrow x\neq0 \lor x\neq-2[/tex]
- [tex]x-3\neq0\Longrightarrow x\neq3[/tex]
- [tex]x(x-3)(x+2)\neq0\Longrightarrow x\neq0 \lor x\neq-2 \lor x\neq3[/tex]
Muszą być spełnione wszystkie powyższe warunki, a więc możemy zapisać w jakim zbiorze znajdują się x, dla których możemy zapisać takie wyrażenie.
[tex]x\in R\setminus \{-2,0,3\}[/tex]
Sprowadzamy ułamki w wyrażeniu do wspólnego mianownika i upraszczamy wyrażenie.
[tex]\frac{2x-1}{(x+2)x}-\frac{2x}{x-3}+\frac{x^3+7x-3}{x(x-3)(x+2)}[/tex]
[tex]\frac{(2x-1)(x-3)}{(x+2)x(x-3)}-\frac{2x(x+2)x}{(x-3)(x+2)x}+\frac{x^3+7x-3}{x(x-3)(x+2)}[/tex]
[tex]\frac{2x^2-x-6x+3}{x(x-3)(x+2)}-\frac{2x^3+4x^2}{x(x-3)(x+2)}+\frac{x^3+7x-3}{x(x-3)(x+2)}[/tex]
[tex]\frac{2x^2-7x+3-(2x^3+4x^2)+x^3+7x-3}{x(x-3)(x+2)}[/tex]
[tex]\frac{2x^2-7x+3-2x^3-4x^2+x^3+7x-3}{x(x-3)(x+2)}[/tex]
[tex]\frac{-x^3-2x^2}{x(x-3)(x+2)}[/tex]
[tex]\frac{-x^2(x+2)}{x(x-3)(x+2)}[/tex]
[tex]\frac{-x}{x-3}[/tex]
Wniosek: Po wykonaniu działań otrzymujemy [tex]\frac{-x}{x-3}[/tex].