Odpowiedź :
Wymiary tego naczynia to 5 cm, 30 cm i 60 cm.
Zastosowanie wielomianów w zadaniach z treścią
Na początek narysujmy sobie szkic tej blachy. Przedstawiony on jest w załączniku do zadania. Mamy do czynienia z rzeczywistą blachą, więc wszystkie długości powinny być liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Zatem możemy postawić założenia:
[tex]x > 0 \wedge 70-2x > 0 \wedge 40-2x > 0[/tex]
Co prowadzi do stwierdzeń, że:
[tex]x > 0 \wedge x < 35 \wedge x < 20[/tex]
Jeśli wszystkie te założenia naniesiemy na jedną oś liczbową, otrzymamy część wspólną: x ∈ (0, 20). To oznacza, że długość boku kwadratu oznaczona przez x zawiera się w tym przedziale.
Szukamy wymiernej wartości x, takiej żeby spełniona została treść zadania, tj. objętość prostopadłościennego naczynia ma być równa 9 litrów. Naczynie to będzie miało wymiary 70 - 2x, 40 - 2x oraz x. Zatem objętość będzie dana jako:
[tex]V(x) = (70-2x)(40-2x)x=9l[/tex]
Zamieńmy litry na na cm³ mamy więc:
[tex]V(x) = (70-2x)(40-2x)x=9000[/tex] cm³
Doprowadźmy teraz to wyrażenie do najprostszej postaci:
[tex](70-2x)(40-2x)x=9000\\(70-2x)(40x-2x^2)-9000=0\\2800x-140x^2-80x^2+4x^3-9000=0\\4x^3-220x^2+2800x-9000=0/:2\\2x^3-110x^2+1400x-4500=0[/tex]
Mamy do rozwiązania równanie wielomianowe. Skorzystajmy z twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu. Głosi ono, że
Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.
Wypiszmy więc sobie dzielniki liczby 4500. Z założenia skupiamy się na liczbach dodatnich mniejszych od 20, zatem ograniczmy się tylko do takich:
[tex]D_{4500} = (1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18)[/tex]
Teraz musimy sprawdzić dla którego dzielnika nasz wielomian się zeruje. Robimy to podstawiając kolejno dzielniki w miejsce x:
[tex]W(1)=2*1^3-110*1^2+1400*1-4500 = -3208 \neq 0\\W(2)=2*2^3-110*2^2+1400*2-4500 = -2124 \neq 0\\W(3)=2*3^3-110*3^2+1400*3-4500 = -1236 \neq 0\\W(4)=2*4^3-110*4^2+1400*4-4500 = -532 \neq 0\\W(5)=2*5^3-110*5^2+1400*5-4500 = 0[/tex]
Zatem przy x = 5 wielomian się zeruje, co oznacza, że x = 5 jest jednym z rozwiązań tego równania wielomianowego. Musimy teraz sprawdzić czy istnieją jeszcze inne rozwiązania. Możemy na początek pogrupować nasz wielomian w następujący sposób:
[tex]2x^3-110x^2+1400x-4500=0\\2x^3-10x^2-100x^2+500x+900x-4500=0\\2x^2(x-5)-100x(x-5)+900(x-5)=0\\(2x^2-100x+900)(x-5)=0[/tex]
Uzyskaliśmy postać iloczynową wielomianu. Jako, że mamy pomiędzy nawiasami znak mnożenia to wystarczy, że jeden z nawiasów się wyzeruje. Jako że drugi nawias już mamy sprawdzony, bo z niego wychodzi nam x = 5, to wystarczy sprawdzić czy pierwszy nawias się będzie zerować, tzn. sprawdzamy kiedy:
[tex]2x^2-100x+900=0/:2\\x^2-50x+450=0[/tex]
Jest to proste równanie kwadratowe. Możemy więc obliczyć deltę.
[tex]\Delta=(-50)^2-4*1*450=2500-1800=700\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{700}[/tex]
Liczba [tex]\sqrt{700}[/tex] nie jest liczbą wymierną, więc rozwiązania tego równania kwadratowego również nie będzie wymierne, co stoi w sprzeczności z zadaniem. Zatem jedynym rozwiązaniem jakie spełnia nasze założenia jest x = 5 cm.
Pozostaje nam tylko obliczyć teraz wymiary tego naczynia, podstawiając w miejsce x odpowiednią wartość:
[tex]70-2x=70-2*5=60[/tex] cm
[tex]40-2x=40-2*5=30[/tex] cm
Zatem wymiary tego naczynia to 5 cm, 60 cm i 30 cm.
